四川省成都市东部新区2021-2022学年高二数学文科下学期期中考试试题（Word版附解析）

成都东部新区2021~2022学年（下）半期调研考试高二文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由共轭复数的概念即可得出答案.【详解】因为，所以.故选：B.2.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C.样本中多数男生喜欢手机支付D.样本中多数女生喜欢现金支付【答案】D【解析】【分析】由条形图数据对选项逐一判断 【详解】对于A，由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，故A正确，对于B，由右图知，样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，故B正确，对于C，由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，故C正确，对于D，由右图知，样本中多数女生喜欢手机支付，故D错误．故选：D3.若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将直线的参数方程化为普通方程，然后直接得出斜率,【详解】因为直线的参数方程为（t为参数），所以直线的普通方程为：.所以该直线的斜率为：.故选：C.4.极坐标方程的直角坐标方程为（）A.或B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可得到答案．【详解】由曲线的极坐标方程，两边同乘，可得， 再由，可得：或，故选：A5.柱坐标对应的点的直角坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】解：∵柱坐标转化为直角坐标为：，∴，故选：B6.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下表关系134573040605070y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）A.20B.-10C.10D.-6.5【答案】D【解析】【分析】利用线性回归方程，令，求得，再求残差即可. 【详解】解：因为y与x的线性回归方程为，当时，，则，所以当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为-6.5，故选：D7.函数的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数零点个数及在区间上的图象位置，利用排除法可得到答案.【详解】的定义域，函数只有一个零点，可以排除CD，又因为当，，所以，其图象在轴下方，所以可排除B.故选：A.8.函数在上的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】求出，由可得答案.【详解】，当时，，单调递减，当当时，，单调递增，所以在上的单调递增区间是.故选：B9.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙没去过的另一城市为（）A.AB.BC.CD.不确定【答案】B【解析】【分析】可先由乙推出可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论.【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过A城市或B城市，再由甲说的，可以推出甲去过两个城市A、C，乙只能去过A和B城市中的一个，再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过A城市，没有去过B城市.故选：B.10.若曲线的切线方程为，则（）A.-1B.1C.-3D.3【答案】C【解析】【分析】先切点为，利用斜率相等，切点即在直线上，又在曲线上，即可求解.【详解】解：设切点为，又，则有，解得：， 故选：C11.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“和谐点”．如果函数g(x)＝x2(x∈(0，＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx，φ(x)＝ex＋x的“和谐点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】【分析】根据题意得到g′(x)＝2x，由x2＝2x可得x＝2，即a＝2；h′(x)＝cosx－2sinx，由题意可得sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，<b<π；φ′(x)＝ex＋1，可得ex＋1＝ex＋x，解得x＝1=c.【详解】函数g(x)＝x2，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝2x，由x2＝2x可得x＝2，即a＝2；函数h(x)＝sinx＋2cosx，h′(x)＝cosx－2sinx，由题意可得sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，即tanx＝－>－，∵x∈(0，π)，∴<x<π，即<b<π；函数φ(x)＝ex＋x，由φ′(x)＝ex＋1，可得ex＋1＝ex＋x，解得x＝1，即c＝1.综上可知c<a<b.故答案为D.【点睛】这个题目考查了对新定义的理解和应用，实质考查了方程的应用以及常见函数求导的应用；求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.12.已知为R上的可导函数，若满足且，则的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合零点求解的解集，再利用转化关系求的解集.【详解】令，则，∴函数为单调减函数，又，∴，当时，，所以；当时，，所以；当时，，；∴的解集为，故选：D.第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数，则______．【答案】【解析】【分析】求出导函数，再计算导数值．【详解】∵函数，∴，∴故答案为：14.在极坐标系中，点到直线的距离为______．【答案】 【解析】【分析】由极坐标系下点与直线的位置关系及几何意义即可求解.【详解】由题，点到直线的距离为，故答案为：15.已知在处导数，则______．【答案】2【解析】【分析】利用导数的定义求解.【详解】解：因为在处的导数，所以，，，故答案为：216.曲线:（为参数）上的动点P到直线的最长距离为______．【答案】【解析】【分析】利用点到直线距离公式表示，为关于的关系式，结合正弦型函数的性质即可求解.【详解】由题，设动点到直线的距离为，则， 则当时，的最大值为，故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.实数m取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）或（2）且（3）【解析】【分析】（1）复数为实数，则虚部为零，即可得出答案.（2）复数为虚数，则虚部为不为零，即可得出答案.（3）复数为纯虚数，则实部为零，虚部为不为零，即可得出答案.【小问1详解】当，即或时，复数z是实数；【小问2详解】当，即且时，复数z是虚数；【小问3详解】当，即时，复数z是纯虚数．18.为调查学生近视情况，东部新区从不同地域环境的甲、乙两所学校各抽取100名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表：近视人数非近视人数合计甲校5050100 乙校7030100合计12080200（1）甲，乙两所学校学生近视的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为近视人数与不同地域环境的学校有关？附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.5；0.7（2）有99%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异【解析】【分析】（1）根据表格数据分别求出频率即可；（2）计算出卡方，即可判断；【小问1详解】解：由表格数据得，甲校学生近视的频率是，乙校学生近视的频率是．【小问2详解】将诶：由题意可得的观测值为，所以有的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的极值．【答案】（1）；（2）在定义域内无极值.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线方程；（2）先求函数的定义域再求导，根据导数求函数的单调区间，即得.【详解】（1）所以即直线斜率由得曲线在点处的切线方程为即（2）由已知，定义域为所以当时，，，，此时为减函数当时，，，，此时为减函数所以，在定义域内无极值．20.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝2处取得极值－14. (1)求a，b的值；(2)若f(x)≥kx在上恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1))f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2处取得极值－14，解方程即可；（2）f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，设g(x)＝x2＋－12，对函数求导研究函数的单调性求得函数最值.【详解】(1)f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2处取得极值－14，得即解得经检验，a＝1，b＝－12符合题意，∴a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋2，由f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，设g(x)＝x2＋－12，x∈，则g′(x)＝2x－＝，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；当1<x≤2时，g′(x)>0，g(x)在(1，2]上单调递增．故g(x)在x＝1处取得极小值g(1)＝－9，也是最小值，故得k≤－9，即k的取值范围为(－∞，－9]．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）单调递增区间为(a，3a)，单调递减区间为(－∞，a)和(3a，＋ ∞)，极大值为0，极小值为－a3；（3）【解析】【详解】解：（1）∵当时，∴，，∴所求切线方程为即．（2）∵．当时，由，得；由，得或．∴函数的单调递增区间为单调递减区间为和．∵，∴当时，函数的极大值为0，极小值为．（3）∵在区间上单调递减∴当时，取得最大值当时，取得最小值．∵不等式恒成立∴解得 故a的取值范围是．【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.（请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分．）[选修4-4，坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，点P的极坐标是，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求的值．【答案】（1）（t为参数），（2）【解析】【分析】（1）直接写出直线l的参数方程；由直角坐标与极坐标互化公式得到曲线C的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程t的几何意义即可求解.【小问1详解】点P的直角坐标是，直线l的倾斜角为∴直线l的参数方程为（t为参数）又由直角坐标与极坐标互化公式得，曲线C的直角坐标方程为【小问2详解】 将代入得设A，B对应参数分别为，，则，，根据直线参数方程t几何意义得：.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时. 又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．