江苏省苏州市昆山柏庐高级中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

昆山市柏庐高级中学高二年级期中测试数学学科同学们，期中考试意味着学期已经过半，对自己进行一次真实的检验吧！一、单选题（8*5分＝40分）1.设随机变量X，Y满足：，，则（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的性质及方差的运算性质计算得出结果.【详解】因为，则，又，所以，故选：B2.某旅行社有A、B、C、D、E共五条旅游线路可供旅客选择，其中A线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（）A.720种B.360种C.320种D.288种【答案】D【解析】【分析】根据题意，可分为甲、乙、丙、丁中有1人选择A路线和甲、乙、丙、丁中没有人选择A路线，两类情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解.【详解】当甲、乙、丙、丁中有1人选择A路线，则报名的情况有种；当甲、乙、丙、丁中没有人选择A路线，则报名的情况有种，由分类计数原理，可得报名的情况共有种不同的报名方式. 故选：D.3.在展开式中，含的项的系数为（）A.25B.65C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，所以含的项的系数为：，故选：D4.函数在区间内存在极值点，则（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】依据导函数，判定函数的单调性，列出关于实数a的不等式组，即可求得a的范围.【详解】，，则，函数在内存在极值点，则在内有异号零点则有或，即或解之得 故选：B5.甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方10：10平后，乙先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结局是13：11，表示10：10平后共进行了四局，且最后两局为甲胜，前面两局打平，故共有两种情况，根据乘法原理可求出概率.【详解】记A事件为甲发球甲胜，B事件为乙发球甲胜则甲以13：11赢下此局的概率为.故选：C.6.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数．（例如：若，，则），其中二进制数A的各位数中，已知，（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】确定随机变量的所有可能取值，根据独立重复试验的计算公式，求得相应的概率，利用期望的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，随机变量的可能取值为，则， ，∴，.故选：D7.已知正数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据式子结构，把变形为，构造函数，根据在上单调递增，得到，即；令，利用导数判断单调性，求出最小值.【详解】因为，即，所以，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以令.则.令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.即的最小值为. 故选：B【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.8.已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.【详解】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式解集为，故选：B.二、多选题（4*5分＝20分，漏选得2分）9.根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若使等级分，则下列说法正确的有（）（参考数据：①；②；③.）A.这次考试等级分超过分的约有人 B.这次考试等级分在内的人数约为C.D.甲､乙､丙人中恰有人的等级分超过分的概率为【答案】BD【解析】【分析】由，则，根据正态分布的性质，结合题中给出的概率公式，对每一选项进行分析，可得答案【详解】由，则选项A.则这次考试等级分超过分的概率为所以这次考试等级分超过分的约有人，故选项A不正确.选项B.这次考试等级分在内的概率为：所以这次考试等级分在内的人数约为人，故选项B正确选项C.=所以选项C不正确.选项D.等级分超过分的概率为所以甲､乙､丙人中恰有人的等级分超过分的概率为：故选D正确.故选：BD10.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“xy为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（） A.A与B对立B.A与B互斥C.D.A与C相互独立【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件列举出事件所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断A，B；分别求出，再根据条件概率公式即可判断C；分别求出，即可判断D.【详解】由题意可知，抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子的基本事件共有种，事件包含的基本事件为共6种，所以.事件包含的基本事件为共9种，所以，所以与互斥但不对立，故A错误，B正确；事件包含的基本事件为共18种，所以，，所以，故C正确；由上可知，，，所以，即与相互对立，故D正确.故选：BCD.11.已知函数的极大值点为x＝a，则（）A.B.C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】求得导函数，令，或由极大值点为，讨论得出关系，依次判断各选项即可得出结果.【详解】,,令，或,由题意可知，.函数的极大值点为，或.即或.所以，A正确；，B正确；，时，错误，时正确，则C错误；，D正确.故选：ABD.12.已如函数，则以下结论正确的是（）A.函数存在极大值和极小值B.C.函数只有1个零点D.对于任意实数k，方程最多有4个实数解 【答案】BCD【解析】【分析】利用导数求出单调性,结合极值、零点的概念可判断ABC，转化为，交点问题，数形结合判断D.【详解】由可得，由可得：，由可得：，所以在单调递增，在单调递减，故函数在时有极大值，无极小值，故选项A不正确；对于选项B：在单调递增，因为，所以，故B正确；因为，在单调递增，故函数在上有且只有一个零点，当时，无零点，所以函数只有1个零点，故C正确；对于选项D：方程即，有一根为，令．则，令可得，令可得或，所以在和单调递减，在单调递增，且，，作，的图形如图所示： 所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，故D正确.故选：BCD.三、填空题（每题5分，前3个填空题答案直接输入系统，第16题需将完整作答过程及答案拍照上传！）13.英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件等式两边同时求导，再利用赋值法即可求解.【详解】由题意可知，两边同时求导，得，显然上式中，令时，等号右边出现所需式子，则令，得.故答案为：. 14.函数在处的切线过点，则实数m＝______．【答案】12【解析】【分析】求得函数的导数，得到，且，根据斜率公式列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，可得，且，所以，解得．故答案为：.15.设a、b、m为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为；已知，，则满足条件的正整数b中，最小的两位数是______．【答案】13【解析】【分析】观察题中给出的形式，结合组合数的计算公式，提出，可求出的值，进而得到的值.【详解】根据组合数的计算公式有===103故.故答案为：13.16.2022年3 月初，新冠病毒肺炎疫情在上海爆发，并以极快的速度在上海传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．上海某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时______．【答案】【解析】【分析】该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性求出，利用导数法求出函数最大值，进而得出.【详解】由题意可得，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得令，即，解得(舍)或（舍）或.当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数取得极大值，也是最大值.所以.故答案为：.【点睛】解决此题的关键是根据已知条件及相互独立事件的概率公式列出，再利用导数法求函数的最值的步骤，进而可以求解.四、解答题（17题10分，其余题目各12分，共计70分）17.随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各80人进行调查，男生中有60人对滑雪运动有兴趣，女生中有10人对滑雪运动没有兴趣．（1）完成下面2×2列联表（表格自己在答题纸上画出），并判断是否有95%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女合计（2）按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取13人，若从这13人中随机选出3人作为滑雪运动的宣传员，求选出的3人中至少有一位是女生的概率．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.001 2.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关.（2）【解析】【分析】（1）根据题意列出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；（2）根据分层抽样的方法，求得男生抽取6人，女生抽取7人，利用古典摡型的概率公式和对立事件的概率，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得如下的的列联表：有兴趣没有兴趣合计男602080女701080合计13030160则，所以有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关.【小问2详解】解：按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取13人，可得男生抽取6人，女生抽取7人，则选出的3人中至少有一位是女生的概率为.18.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二胎政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人．（1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量 的分布列和数学期望；（2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）分布列见解析，期望1.125（2）分布列见解析，期望1.125【解析】【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0,1,2,3.则的分布列和数学期望易求：(2)由题意可知服从二项分布，且，则机变量的分布列和数学期望.可求【小问1详解】由题意知，的值为0,1,2,3.，，，.∴的分布列为:0123．【小问2详解】由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为P=，=0,1,2,3.且..的分布列为：0123 ．19.设函数．已知当时，存在，使得．（1）讨论的导函数的零点个数；（2）证明：当时，．【答案】（1）当时，在上没有零点；当时，的在上有唯一零点.（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数的单调性和零点存在定理，进而确定零点个数.(2)利用导数的放缩，得到，进而得到，再讨论的单调性，得到，即可求解.【小问1详解】因为，所以，，又因为，当时，，此时没有零点；当时，存在，使得，且令，，得到在上单调递增，即在上单调递增，又因为存在，使得，又，根据零点存在定理以及的单调性，可知导函数的在上有唯一零点. 【小问2详解】由已知得，，因为，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增；，得，所以，；则，设，得，令，此时，时，，时，，，，所以，，所以，当时，，题目得证.【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的放缩，通过放缩，对不等式进行化简，进而把问题转化为证明成立，最后通过讨论证明不等式，属于难题.20.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ②参考数据：，，．【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.【解析】【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．解：（1），，则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即．由于，所以关于的线性回归方程为，所以，则（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，代入得，，又，所以， 所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性21.已知函数．（1）当k＝1时，求函数在上的最值；（2）若函数在上单调递减，求实数k的取值范围．【答案】（1），.（2）或.【解析】【分析】(1)对求导，判断的单调性，进而求出的最大最小值.(2)根据的单调性，考查函数，则在上无零点，进而得到k的取值范围.【小问1详解】，令，则∵，∴，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，.【小问2详解】∵在上单调递减，且,令，则在上无变号零点，∵，∴在上单调递增， 即或∴或为必要条件.当时，，易得上单调递减，符合条件；当时，，，∵，∴.综上知，或.22.已知函数，其中．（1）若函数在单调递增，求m的取值范围；（2）已知函数存在两个极值点（），当时，求的取值范围．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可；（2）根据所给极值点得出，换元后可得构造函数，利用导数研究函数单调性，由单调性求范围即可.【小问1详解】，，函数在单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，令，则时，， 所以在时，单调递增，所以，所以，即.【小问2详解】因为函数存在两个极值点（），所以，可得，令，则，所以取对数可得，令，则，令，则，所以在上单调递增，因为，所以在恒成立，所以在恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即