江苏省苏州市常熟市尚湖高级中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

尚湖高中高二第二学期期中试卷数学2022.5一､单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分）1.一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则的瞬时速度为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的物理意义，求函数的导数，将代入到导函数即可.【详解】，，则的瞬时速度为.故选：B.2.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（）A.0B.1C.0.3D.【答案】D【解析】【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，.故选：D.3.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选：C．【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.4.高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A.42种B.96种C.120种D.144种【答案】C【解析】【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，所以课程编排方案共有种，故选：C.5.展开式中的常数项为，则项的系数为（）． A.240B.120C.180D.【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，当求得，再由可得的值，进而即可得解.【详解】展开式的通项公式为，令，可得，常数项为，得．再令，得，所以项的系数为．故选：A6.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概型分别求出，，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，， ∴.故选：D.7.现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.180B.200C.240D.260【答案】D【解析】【分析】先涂Ⅰ，有5种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ，分Ⅱ，Ⅳ相同和Ⅱ，Ⅳ不同求解.【详解】先涂Ⅰ，有5种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ．①当Ⅱ，Ⅳ相同时，涂法有种，故不同的涂色方法种数为；②当Ⅱ，Ⅳ不同时，涂法有种，故不同的涂色方法种数为．综上所述，不同的涂色方法种数为．故选：D.8.已知函数恰有两个零点，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由分离参数得．引入新函数，由导数确定的单调性、极值，得出函数的变化趋势，从而得出结论，【详解】令，得．设，则．由，得；由，得．所以 上单调递减，在上单调递增，故，即．故选：D．二､多选题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）9.设离散型随机变量X的分布列为X1234P020.10.2q若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．【详解】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，所以，，∴，，故选：BD．【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.10.关于，下列说法正确的是（）．A.B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】对A，令，即可；对B，，即可；对C，令，即可；对D，设，再求导代入即可【详解】令，；①令，；②令，．③由①，②可知，故A不正确；由①，③可知，故B正确；由②，③可知，故C正确．设，则，令，，故D正确．故选：BCD11.已知正整数满足不等式，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据排列、组合数的计算公式逐一验证选项即可.【详解】选项A：等号左边，等号右边等号左边=等号右边，A正确.选项B：等号左边，等号右边，B错误. 选项C：等号左边，等号右边，等号左边=等号右边，C正确.选项D：等号左边，等号右边，D正确.故选：ACD.12.已知函数，则（）A.和0是函数的极值点B.在上单调递增C.的极大值为D.的极小值为【答案】ACD【解析】【分析】先求导，再求出函数的单调区间和极值，判断即得解.【详解】解：由题得当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以和0分别是函数的极大值点和极小值点，所以选项A正确；所以在上单调递减，所以选项B错误；函数的极大值为，所以选项C正确；函数的极小值为，所以选项D正确. 故选：ACD三､填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1296【解析】【分析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位数个，再根据分类加法计数原理即可求出．【详解】若取出的数字中不含零，则有四位数个；若取出的数字中含零，则有四位数个；所以，这样的四位数有个．故答案为：1296．14.已知随机变量X～B(5，)，则P(X≥4)＝________.【答案】【解析】【分析】利用随机变量的独立重复试验求解.【详解】P(X≥4)＝.故答案为：15.小华、小明、小李小章去A，B，C三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去B工厂的概率是________．【答案】【解析】【分析】求出总分配方法数，再按去1人或2人分类求得小华和小李都没去B工厂的方法数，然后由概率公式计算．【详解】由题意可知总的分配情况有种，其中满足条件的情况有 种，故所求概率．故答案为：．16.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______．【答案】．【解析】【分析】构造新函数，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案.【详解】当时，不等式恒成立，所以，所以在上是增函数，，则上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以，所以．故答案为：．四､解答题（本题共计6小题，共计70分）17.已知函数，过曲线上的点的切线方程 ，在时有极值.（1）求的表达式；（2）求在上的单调区间和最大值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用切线方程和极值列方程组求出a、b、c，即可得到的表达式；（2）利用导数求出单调区间和最大值.【详解】（1）由题知：可得解得，∴（2），（）令，得或列表得：0013又∵，∴时，， 时，为单调递增函数，时，为单调递减函数，时，为单调递增函数.18.已知的展开式中，各项系数之和比它的二项式系数之和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中有理项.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）首先利用各项系数之和，它的二项式系数之和，求出，写出的二项展开式通项，进而得到展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，代入通项求解即可；（2）由（1）知，，则展开式中有理项即为为有理数，此时，，进而求出展开式中有理项即可.【小问1详解】依题意，令，则二项式各项系数之和为，又展开式中各项的二项式系数之和为，，即，解得（舍去）或，，的二项展开式通项，由于为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，即，；【小问2详解】 由（1）知，，则展开式中有理项即为为有理数，当时，，当时，，展开式中有理项为，.19.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值，在此基础上，设进入决赛的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）甲；（2），的分布列见解析，.【解析】【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较概率的大小即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，列方程求解；先确定进入决赛的人数的取值，依次求出每个值所对应的概率，列出分布列，进而利用数学期望公式求解.【小问1详解】甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，，，，，甲进入决赛的可能性最大；【小问2详解】由（1）知，，，，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，，，整理得，解得或，又，；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，设进入决赛的人数为，则可能的取值为，，，，，，， ，的分布列如下：.20.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2).【解析】【分析】(1)分类讨论参数的取值范围，来确定的正负号，从而确定单调性；(2)由(1)中结论，求出最大值，结合恒成立问题的含义即可求解.【详解】(1)①当时，，在上单调递增；②当时，令，令.所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，当时，在上单调递增，而不成立； 当时，的最大值为，有，即，所以.综上.故答案为：.21.某楼盘举行购房抽奖送装修基金活动，规则如下：对购买该楼盘的业主，从装有2个红球、2个白球的A盒和装有3个红球、2个白球的B盒中，各随机抽出2球，在摸出的四个球中，若四个球都为红球，则为一等奖，奖励10000元的装修基金，若恰有三个红球，则为二等奖，奖励5000元的装修基金，若恰有二个红球，则为三等奖，奖励3000元的装修基金，其它视为鼓励奖，奖励1500元的装修基金．（1）三名业主参与抽奖，求恰有一名业主获得二等奖的概率；（2）记某业主参加抽奖获得的装修基金为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）根据已知条件，先求出某名业主获得二等奖的概率，再结合独立重复实验的概率公式，即可求解；（2）由题意列出的所有可能取值，分别求出对应概率，即可得出的分布列，再结合期望公式即可求解.【小问1详解】记事件{业主获得一等奖}，{业主获得二等奖}，{业主获得三等奖}，{业主获得鼓励奖}．由题意，得，故三名业主参与抽奖，恰有一名业主获得二等奖的概率．【小问2详解】X的取值为10000，5000，3000，1500． ，，，．X的分布列为：X10000500030001500P数学期望为．22.已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若在上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），当时，，，利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，构造函数， ，利用导数研究的单调性、极值以及最值，从而得出实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，，，在处的切线方程为，即；【小问2详解】在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，令，，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，当时，方程在上有两个不同的实数根，实数取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1）在运用求导法则求的导数时，注意运算的正确性； （2）在运用导数的几何意义求在某点处的切线的斜率时，斜率，切线方程最好为一般式；（3）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根；（4）运用参变分离得到，构造函数，；（5）利用导数研究函数的性质时，应说明清楚单调性以及、、的取值情况.