江苏省苏州实验中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

江苏省苏州实验中学2021-2022学年度第二学期期中调研试题二数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设f(x)是可导函数，且，则（）A.2B.C.-1D.-2【答案】B【解析】【分析】由已知及导数的定义求即可.【详解】由题设，.故选：B2.已知随机变量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，则D(3ξ+2)=（）ξ210PaA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分布列的性质求出，根据公式求出，再根据方差的性质可求出结果.【详解】根据分布列的性质得，得， 所以，所以，所以.故选：C3.2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法错误的是（）A.B.变量x，y线性负相关且相关性较强C.相应于点（9.5，10）的残差约为-0.4D.当x=8时，y的估计值为14.4【答案】C【解析】【分析】A由样本中心在回归方程上求参数；B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；C利用残差的定义求残差；D将8代入回归方程求估计值.【详解】由表格知：，，所以，可得，A正确；由相关系数且回归方程斜率为负，则变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；由，故残差为，C错误；由，D正确；故选：C4.已知两个随机变量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且 ，则（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1【答案】A【解析】【分析】由二项分布期望公式求得，再根据正态分布的对称性及已知求.【详解】由题设，即，又，故.故选：A5.已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，则随机取一袋，再以该袋中随机取一球，该球是白球的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】应用独立事件乘法及互斥事件的加法公式，求取出白球的概率.【详解】由题意，白球的概率为.故选：D6.已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（）A.(-¥,0)B.(1,+∞)C.(-¥,1)D.(0,+∞)【答案】A【解析】【分析】对求导得到关于、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.【详解】由题设，则，可得 ，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(-¥,0).故选：A7.小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（）A.84B.78C.108D.96【答案】A【解析】【分析】首先计算小李与父母中一人相邻的排法数并加总，再排除小李与父母都相邻的情况，即可得结果.【详解】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空，小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空，小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；综上，共有种.故选：A8.设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.【详解】由，则的切线斜率为，由，则的切线斜率为，而两曲线上总存在切线、有，即，而，即，故，所以，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列等式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误.【详解】A：，正确；B：，错误； C：，正确；D：，正确；故选：ACD10.一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）A.从中任取3球，恰有一个红球的概率是；B.从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为；C.从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.【答案】AC【解析】【分析】A应用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服从分布，应用二项分布概率公式求出对应事件的概率；C由题设第二次取球时剩余4个红球、2个白球即可判断.【详解】A：任取3球恰有一个红球的概率，正确；B：由每次取到红白球概率分别为，则取到白球服从分布，则恰好有两个白球的概率，错误；C：第一次取到红球，则剩余4个红球、2个白球，故第二次取到红球概率为，正确；D：由B分析知：，错误.故选：AC11.根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的考试分数转换为等级分，知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若使等级分， 则下列说法正确的有（）（参考数据：①；②；③.）A.这次考试等级分超过80分的约有450人B.这次考试等级分在(65,95]内的人数约为997C.甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率为D.【答案】BCD【解析】【分析】利用正态分布的三段区间的概率求特殊区间的概率并估计人数判断A、B、D，结合二项分布的概率公式求C中概率.【详解】由题设，，A：，故人，错误；B：在(65,95]内的概率为，则人，正确；C：甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率，正确；D：，正确；故选：BCD12.已知函数，（），下列结论正确的是（）A.f(x)有极小值，且极小值为1+lna，无极大值B.当a<0时，直线l与函数f(x)图象相切，则该直线斜率k的取值范围(0，+∞)C.若函数f(x)在[1,e]上的最小值为，则a的值为D.f(x)在区间(1,2)上存在单调减区间，则a的取值范围是[1,+∞)【答案】BC【解析】 【分析】A由时的单调性即可判断；B由导函数，结合二次函数性质求的值域即可；C由A分析有，利用导数研究的极值，进而确定a值；D根据C的分析判断a的取值范围.【详解】由题设且，当时，即在定义域上递增，此时无极值，A错误；令，则且，则在上递增，故在上递减且，B正确；当时，即在定义域上递增，无解，时，在上，递减；在上，递增；无解，无解，所以有极小值也是最小值，则，可得，C正确；由C分析知：在(1,2)上存在单调减区间，则，D错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：注意讨论参数a，利用导数研究的单调区间、极值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中恰有2名女生的概率为________.【答案】【解析】【分析】利用组合数及古典概型的概率求法，即可求结果. 【详解】由题意，所选3人中恰有2名女生的概率.故答案为：14.已知函数在x=3处有极大值，则c=___________.【答案】9【解析】【分析】求出导函数，由求得值，然后检验是极大值点．【详解】由已知，，，或，时，，在时，，递减，时，，递增，不是极大值点，舍去；时，，时，，递增，时，，递减，是极大值点．综上．故答案为：9．15.若在的展示式中，的系数为________.【答案】【解析】【分析】解法一：化为二项展开式，利用通项公式可得结果；解法二：利用分步乘法计数原理和组合数公式可得结果.【详解】解法一：展开式的通项为，令，得，展开式的通项为，令，得， 所以在的展示式中，的系数为：.解法二：因为,所以要得到含的项，则只需从5个括号中任选两个括号取，从其余的3个括号中任选两个括号取，最后一个括号取，然后相乘即可.所以在的展示式中，的系数为.故答案为：.16.已知（a，b，，），若不等式对任意恒成立，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】求导后代入不等式得对任意恒成立，转化为，再分与，两种情况，后一种令，则，由判别式可求出的范围，进一步可得的取值范围.【详解】，所以，即对任意恒成立，当时，若趋近于正无穷时，趋近于正无穷，不合题意；当时，若趋近于负无穷时，趋近于正无穷，不合题意；所以，又，所以.所以对任意恒成立， 当b=0时，c=0，当，有，即且，令，则，所以，即,所以，得，所以，综上，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.对于数据组：x2345y1.94.16.17.9（1）作散点图，你能直观上得到什么结论？（2）求线性回归方程.参考公式：，.【答案】（1）散点图、结论见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由数据画出散点图，根据图判断变量之间的关系即可；（2）应用最小二乘法求线性回归方程. 【小问1详解】由图知：两个变量呈线性关系且正相关.【小问2详解】由数据知：，，，，所以，令，则，综上，回归直线方程为.18.为了某次的航天飞行，现准备从9名预备队员（其中男5人，女4人）中选4人参加航天任务.（1）若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？（2）若至多两名男航天员参加此次航天任务，间共有几种选法？（3）若选中的四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？【答案】（1）（2）（3）.【解析】 【分析】（1）从其余人中任选人，根据组合的定义可得结果；（2）分三类计数可得结果；（3）采用先分组再排列的方法可求出结果.小问1详解】若男甲和女乙同时被选中，从其余人中任选人，共有种选法.【小问2详解】若没有男航天员参加此次航天任务，则有种选法；若恰有一名男航天员参加此次航天任务，则有种选法；若恰有两名男航天员参加此次航天任务，则有种选法；所以共有种选法.【小问3详解】先从名航天员中任选人，有种选法，将选出的人按照分成三组，有种分法，将三组航天员分到A、B、C三个实验室去，有种，所以一共有种派法.19.已知函数，.（1）求函数f(x)的极值；（2）令，，（）是函数h(x)图象上任意两点，且满足，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值.（2）.【解析】【分析】（1）根据极值概念求解即可；（2）将不等式化为，再构造函数 ，转化为在上为增函数，在上恒成立，参变分离后，利用最值求解即可得解.【小问1详解】的定义域为，，令，得，令，得，所以函数在时，取得极小值，无极大值.【小问2详解】因为，所以，所以，令，则对任意的都成立，所以在上为增函数，所以，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即.20.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.【答案】（1）.（2）和.（3）和. 【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式和等差中项知识求出，再根据二项式系数的性质可求出结果；（2）解不等式组可求出结果；（3）利用的指数为整数求出，再根据通项公式可求出结果.【小问1详解】展开式的通项公式为，依题意得，即，得，所以的展开式有项，二项式系数最大的项为项，所以.【小问2详解】由（1）知，，设展开式中系数最大项为第项，则，即，即，解得，所以或，所以展开式中系数最大的项为和.【小问3详解】由为有理项知，为整数，得，. 所以展开式中所有有理项为和.21.中国职业篮球联赛分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段3015209第二阶段30152512（1）根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？（2）已知A队与B队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛输掉的频率.记X为A队在总决赛中获胜的场数.①求X的分布列；②求A队获得本赛季的总冠军的概率.附：.0.1000.0500.025xα2.7063.8415.024【答案】（1）没有（2）①分布列见解析；②【解析】【分析】（1）写出列联表，根据公式求出，对照临界值表可得结论；（2）①A队在其他场次比赛获胜的概率等于，的所有可能取值为，求出取各 个值的概率后，可得分布列；②转化为求，由①可得解.【小问1详解】根据题意可得列联表如下：客场主场合计获胜场数242145负的场数6915合计303060，所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.【小问2详解】①A队常规赛60场比赛输掉的频率为，所以A队在其他场次比赛获胜的概率等于，的所有可能取值为，，，，，所以X的分布列为：0123 ②A队获得本赛季的总冠军等价于，由①可知.所以A队获得本赛季的总冠军的概率为.22.已知函数，其中.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个不同的零点，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）.【解析】【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果；（2）转化为与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.【小问1详解】的定义域为，依题意可知，，，当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，由恒成立，所以定义域上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.【小问2详解】 若函数f(x)有两个不同的零点，则，即在上有两个正根，即与的图象有两个交点，，因为为减函数，且时，，所以当时，，，当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，为，因为，时，，所以.