江苏省苏州外国语学校2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

苏州外国语学校第二学期高二期中数学试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（）A种B.种C.种D.种【答案】C【解析】【分析】利用排列，排列数的概念即得.【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有种.故选：C.2.若离散型随机变量的分布列如下图所示．01则实数的值为（）A.或B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，，解得，所以实数的值为. 故选：C3.在的展开式中，若项的系数为，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】展开式通项为，依题意，则，当时，，所以，故选：C.（2022·江苏·南京师大附中高二期中）4.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件，则，，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，所以，.故选：D.5.某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1 个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A.65B.110C.780D.1560【答案】D【解析】【分析】首先将6个人分为4组，再将4组进行全排列即可求出结果.【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，4组分配到4个大门有种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：.故选：D6.2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，所求概率.故选：C.7.若经过点可以作曲线的两条切线，则下列正确的选项是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】设切点，根据切线经过点，得到，令，转化为与有两个不同的交点求解.【详解】解：设切点，因为，所以，所以点P处的切线方程为，又因为切线经过点，所以，即，令，则与有两个不同的交点，，当时，恒成立，所以单调递增，不合题意；当时，当时，，当时，，所以，则，即，故选：B8.已知函数在区间内存在极值点，且在R上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是()A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】求出f(x)的导数，根据a的范围，讨论导数正负，从而判断f(x)单调性和极值；根据f(x)有唯一极值点x=ln2a可知，分别讨论ln2a=0、ln2a∈(-1，0)、ln2a∈(0，1)三种情况f(x)<0的整数解情况即可求出a的范围．【详解】∵，∴，当时，恒成立，在上单调递增，不存在极值点，不合题意；当时，令，解得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；的极小值点为，无极大值点；在上存在极值点，∴，当，即时，，则在R上无解，不合题意；当时，∵f(0)=0，故要使恰有唯一整数解，则该整数解为，，，，解得；当时，∵f(0)=0，故要使恰有唯一整数解，则该整数解为，，，，解得；综上所述，实数a的取值范围为． 故选：D．【点睛】本题关键是确定f(x)有唯一的极值点x=ln2a，根据极值点范围，结合在R上恰好有唯一整数解，数形结合列出不等式组即可求出a的范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.若，则下列结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.【详解】令可得，①，故A正确；令可得：，②①②可得：，故，故B正确；令可得：，③令可得：，④把③代入④即可得出：，故C错误；两边对求导得．令可得，故D正确.故选：ABD10.下列说法正确的是（）A.设离散型随机变量X等可能取1，2，3，…，n，若，则 B.设随机变量X服从二项分布，则C.设离散型随机变量服从两点分布，若，则D.设随机变量x服从正态分布且，则【答案】AC【解析】【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：由题意知，对于A：，，故A正确；对于B：设随机变量服从二项分布，则，B错误；对于C，因为且，，故C正确；对于D，随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，所以，，D错误；故选：AC．11.甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（）A.B. C.D.【答案】BCD【解析】【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D作答.【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A不正确；在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；因，，，则，C正确；因，，则，D正确.故选：BCD12.设为定义在R上函数的导函数，下列说法正确的是（）A.若恒成立，则B.若是奇函数且满足，当时，，则使得成立的x的取值范围是C.若，，则不等式的解集为D.若，，则在上单调递增 【答案】ABD【解析】【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而判断A；构造函数，利用导数研究的单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断B；构造函数，利用导数研究的单调性，进而得出即可判断C；构造函数，利用导数研究的单调性，进而得出即可判断D.【详解】，即，设，则，当时，恒成立，在上单调递增，∴，∴，∴，故A正确．设，则．∵当时，，即，∴函数在上单调递增．∴为奇函数，∴也为奇函数，∴在上单调递增．∴，∴，∴函数的解集为．又等价于，∴的解集为，故B正确．等价于，即，令， 则．∵，即，且，∴，故函数在R上单调递减，又，故的解集是，故C错误．由题意得，设，则．当时，，当时，，∴上单调递减，在上单调递增，∴，∴，∴在上单调递增，故D正确．故选：ABD.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则正整数___________.【答案】8【解析】【分析】根据排列数和组合数运算性质直接计算即可.【详解】因为，所以，解得：.故答案为：8.14.某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从6名医生和2名护士共8名医务工作者中选出队长1人､副队长1入､普通医务工作者2人组成4人医疗服务队，轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有___________种不同的选法. 【答案】660【解析】【分析】分只有1名护士和有2名护士两种情况，结合计数原理即可求出结果.【详解】分两类：①只有1名护士，共有：种选法；②有2名护士，共有：种；故共有种选法.故答案为：660.15.甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________.【答案】【解析】【分析】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三局，打完五局胜三局，进而求得答案.【详解】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，若前三局甲胜，甲获胜的概率为，若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为，若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为，所以甲获胜的概率是.故答案为：.16.设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为___________.【答案】【解析】 【分析】设，则，可得出，，令，，对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.【详解】因为，所以，函数在、上均为增函数，设，则，且，，则，，令，，则，①当时，即时，，在上单调递减，，解得，合乎题意；②当时，即时，若，则，若，则，函数在上单调递减，在上单调递增，，得（舍去），综上，.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数．（1）求f（x）在处的切线方程； （2）求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值是13，最小值是－19.【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.【小问1详解】由题意知，，即切点为（1，－3），又，所以所以f（x）在处的切线方程为：，即；【小问2详解】，令得；令得或，故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，又，∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1918.在二项式的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中项的系数最大的项.【答案】（1）， （2）（3）【解析】【小问1详解】选择①：，即，即，即，解得或（舍去）.选择②：，即，解得.展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，，.【小问2详解】展开式的通项为，令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为；【小问3详解】由展开式的通项为，假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项为.19.根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务.成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模､多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成，规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6 个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（结果用分数表示）（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望；（3）判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：（3）甲比乙闯关成功的概率要大【解析】【分析】（1）利用独立重复试验的概率求解；（2）根据甲只能正确完成其中6个，利用超几何分布求解；（3）由（1）（2）的结果比较.【小问1详解】记事件A“乙闯关成功”，.所以；【小问2详解】甲编写程序正确的个数X可能取0，1，2，3，，，分布列为：X0123P数学期望E.【小问3详解】甲闯关成功的概率 所以甲比乙闯关成功的概率要大.20.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm58596061626364656667686970717273合计个数2113561931164421221100经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；；；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望及方差.【答案】（1）性能等级为丙（2）分布列见解析，，【解析】【分析】（1）由，，根据表格数据求出、、即可判断；（2）首先求出样本中次品的件数，由题意可知的可能取值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而求出分布列，再根据期望与方差公式计算可得；【小问1详解】解：因为，，所以， ，.因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.【小问2详解】解：因为，，所以样本中次品共10件，由题意可知的可能取值为0，1，2.，，.∴次品件数的分布列为：012∴..21.已知函数，.若函数在定义域内有两个不同极值点.（1）求实数a的取值范围；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、.研究的单调性和零点情况即可求出a的范围； (2)设，由(1)知且，则，将a=代入要证的不等式，可将不等式化为，令，则不等式化为，问题转化为在(0，1)恒成立即可．【小问1详解】函数定义域为，在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减，∴当时，，函数有两个零点，则必有，即，解得．易证，证明如下：令，，当时，，单调递减，当时，单调递增，故，故，得证． ∴，又，∴在和上各有一个零点、，此时：00↓极小值↑极大值↓故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；【小问2详解】方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，由且，得．∵．令，则，记，，则，令，．又，则，即，∴在上单调递增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲证，由，，则只需证：． 不妨设，则且，则，∴，令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立.故．【点睛】本题第一问关键是找到x=1和x=，判断，，从而根据零点存在性定理判断在和上各有一个零点；第二问的关键是利用是的两个零点用替换a，再利用换元将双变量转化为单变量进行证明．22.已知函数，，（1）讨论函数的单调性；（2）若对于定义域内任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，则，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，.当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，由，可得；由，可得.此时函数的增区间为，减区间为.综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的增区间为，减区间为.【小问2详解】解：对任意的，，即，可得对任意的恒成立，构造函数，其中，则，，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增， 因为，，所以，存在，使得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，，因为，则，构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，因为，则，则，由可得，所以，，所以，，可得，所以，，.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.