江苏省苏州大学附属中学2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

苏大附中2021-2022学年第二学期期中检测高二年级数学试卷（考试时间：120分钟总分150分）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题体大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则x的值为（）A.4B.6C.4或6D.8【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C2.函数的导函数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的四则运算公式直接求导即可.【详解】，故选：D．3.若离散型随机变量的分布列如下图所示．01则实数的值为（） A.或B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，，解得，所以实数的值为.故选：C4.一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用条件概率公式计算得解.详解】依题意，，，所以.故选：B5.已知随机变量X的分布列为：X123P 则X的数学期望（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根据分布列直接求解即可【详解】由分布列得．故选：C6.随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（）附：．A.0.6827B.0.84135C.0.97725D.0.9545【答案】B【解析】【分析】由正态分布的性质求出，再利用特殊区间的概率及正态分布的性质求解．【详解】由题意，，，所以，，所以，．故选：B．7.“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“”模式，即学校每周周一至周五这天要面向所有学生提供课后服务，每天个小时.某校计划按照“”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三类课后服务，并且每天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于小时，不高于小时，那么不同的安排方案的种数为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三类服务的服务时长分两类，分别根据分组分配计算，根据分类加法计数原理求和即可.【详解】第一种情况是某类服务6个小时，其余两类服务各2个小时，先选一类服务时长6小时，安排到3天里，其余2类安排到剩余2天里即可，共种；第二种情况是某类服务2个小时，其余两类服务各4个小时，先选出一类服务2个小时，剩余2类分别安排2天，共种；综上不同的安排方案共有种.故选：C8.过点有三条直线和曲线相切，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义结合点斜式写出切线方程的表达式，并代入曲线，得，则有三个零点，讨论参数即可求解结果．【详解】设直线过点且与曲线相切，切点为．由得，∴切线的斜率为，∴切线方程为，∴，∴．设，由题意，函数有三个零点．，由得，或．当时，函数只有一个零点，舍去； 当时，，由，得或，由，得所以是函数的极大值点，由于，函数没有三个零点，舍去．∴，同理可得是函数F（x）的极大值点，由条件结合三次函数的性质得，，解得．故选：B二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选惜的得0分）9.下列说法正确的为（）A.6本不同书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．【答案】ACD【解析】【分析】利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本相同书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种； 对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：①一人本，其他两人各本，共有；②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，③每人2本，共有，故共有种.故选：ACD【点睛】本题考查了平均分组、不平均分组问题，挡板法，考查了组合数在生活中的应用，属于基础题.10.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A.两件都是一等品的概率是B.两件中有1件是次品的概率是C.两件都是正品的概率是D.两件中至少有1件是一等品的概率是【答案】ABD【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式计算，逐项验证即可.【详解】解：两件都是一等品的概率为，两件中有一件次品的概率为，两件都是正品的概率为，两件中至少有1件是一等品的概率为：．故选：ABD．11.在的展开式中，各项系数与二项式系数之和为65，则下列结论正确的是（） A.B.各项系数的绝对值之和为729C.系数最大项为D.有理项有3项【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，得到，求得，可判定A正确；根据二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判定B正确；根据展开式的通项，分别求解各项，可判定C正确，根据展开式的通项，可判定D错误.【详解】由题意，二项式的展开式的各项系数与二项式系数之和为，可得二项式系数的和为，令，可得展开式的系数和为，所以，解得，即，所以A正确；由二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，令，可得，所以B正确；由二项式展开式的通项为，当时，展开式的系数为；当时，展开式的系数为；当时，展开式的系数为；当时，展开式的系数为；当时，展开式的系数为；当时，展开式的系数为；当时，展开式的系数为， 所以展开式中系数最大项为，所以C正确.由二项式展开式的通项为其中当时，可得，，，，共有4项有理项，所以D错误.故选：ABC12.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.【详解】构造函数，，当时，，时，，时，，在处取最大值，，，函数图像如下： ，，A正确；B错误；，，，C正确，D错误；故选：AC.第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0，1].若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________.【答案】####【解析】【分析】首先由条件可知，当时恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值问题.【详解】由已知条件得f′(x)＝2a＋.∵f(x)在(0，1]上是增函数，∴f′(x)≥0，即在x∈(0，1]上恒成立，即，而g(x)＝在(0，1]上是增函数，∴g(x)max＝g（1）＝.∴.当时，对x∈(0，1]有f′(x)≥0，且仅在x＝1时，f′(x)＝0.∴时，f(x)在(0，1]上是增函数.∴a的取值范围是. 故答案为：14.若的展开式中第5项的二项式系数最大，则___________．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据二项展开式的二项式系数，列出不等式组，结合组合数的公式，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，可得，即，解得，所以或或.故答案为：（答案不唯一）.15.已知一种植物一年生长的高度y与发芽期的平均温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6由上表可得线性回归方程为，则当时，估计该植物一年生长的高度y的值为______．【答案】【解析】【分析】利用回归直线过样本中心可得，进而可得，即求.【详解】由表格数据可得，，代入，得， 所以，即，从而有，当时，．故答案为：.16.关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．【答案】##【解析】【分析】根据题意，构造函数，通过讨论的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件即可求解.【详解】①当时，原不等式不成立；②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.又因，且恰有一个整数解，所以，即. 综上，.故答案为：.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步敢）17.已知函数，曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求在区间上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（Ⅰ），∵曲线在处的切线方程为，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，， ∴在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.18.甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）．（1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；（2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意，可知在5场比赛中，甲队赢3场，从而可得概率；（2）根据二项分布可解答.【小问1详解】记“五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分”为事件，而五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分，即五场单打比赛中甲队赢3场，乙队赢2场，所以【小问2详解】由题意，可取.所以；；；； ；.所以的分布列为：012345所以.(或者，所以).19.一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）．（1）求关于的函数表达式；（2）求的值，使体积最大；【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆性质和三角函数的定义可得出；（2）对函数求导，得到增、减区间，进而求出极值，最后可以得到最大值时的. 试题解析：（1）梯形的面积.体积.（2）.令得或，，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，体积最大.考点：1、数学建模能力及三角函数求导法则；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.【方法点睛】本题主要考查数学建模能力以及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.20.李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由. 【答案】（1）（2）（3）选择路线上班最好.【解析】【详解】【试题分析】（1）走线路相当于次独立重复试验，按照二项分布的计算公式，计算恰好发生次和恰好发生次的概率，相加即可.（2）走线路，则遇到红灯次数的可能取值为，按照独立事件概率计算公式计算对应的概率，写出并求其期望.（3）线路是二项分布，利用公式计算出期望，由于的期望小，故选线路.【试题解析】（Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 则　　，　　　　　  所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为.　　　  （Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.　　　　　      . 随机变量的分布列为：012所以.　　　　　　   （Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布～，所以.   因为，所以选择路线上班最好.【点睛】本题主要考查二项分布的分布列即数学期望，考查相互独立事件概率计算，考查期望值的在现实生活中的指导意义.对比两条线路，第一条线路每次遇到红灯的概率是一样的，都为，所以可以看成是次独立重复试验，符合二项分布的概念.线路二用的就是相互独立事件概率公式了.21.某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据.x2468y36710（1）请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测当时回收率的值.参考数据：，，|r|10>0.8<0.3其他x，y相关关系完全相关不相关高度相关低度相关中度相关【答案】（1）0.98，x与y高度线性相关（2），12【解析】 【分析】小问1：由题意计算可得，则与之间存在高度线性相关关系；小问2：由题意求得回归方程为.据此预测当时，．【小问1详解】所以，x与y高度线性相关【小问2详解】根据最小二乘法所以，回归方程当时，22.已知函数，是的导函数.（1）证明：函数只有一个极值点；（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)求导，根据导函数的单调性以及符号即可证明；(2)应用极值点偏移的方法即可证明.【小问1详解】函数的定义域为，且． 当时，；当时，令，则，在上单调递增．又，，，使得，即，当，时，；当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，只有一个极小值点，无极大值点；【小问2详解】由（1）知，函数在上单调递增，，且，，函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，则，要证，即证，只要证，．又在上单调递增，∴要证，即证．令，，令，则，令，则， 在上单调递增，，在上单调递减，，在上单调递增，，即.【点睛】本题的难点是极值点偏移，实际上对于极值点偏移是有专门的方法的，即是以极值点为对称轴，作原函数的对称函数，通过判断函数图像是原函数的上方还是下方，即可证明.