江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高二数学下学期期末模拟试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期高二期末模拟测试数学注意事项：2022.06.041.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式后由交集的概念判断【详解】由得，由得，故，故选：D2.已知，在上的投影为1，则在上的投影为（）A.-1B.2C.3D.【答案】C【解析】【分析】利用向量投影的定义进行计算即可.【详解】在上的投影为，即， 在上的投影为，故选：C3.某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（）A.72B.84C.90D.96【答案】B【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B4.从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】由题得事件与事件互斥，进而，再根据题意，依次讨论求解即可.【详解】解：由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有种可能情况，对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，故由条件概率公式得，故D选项正确.故选：D5.若函数，则函数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为，所以.从而， 当时，取得最小值，且最小值为.故选：D6.若二项式的展开式中的系数是，则实数A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：二项式的通项公式为，令，得．故展开式中的系数是，解得．考点：二项式定理7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数得出单调性，比较的大小即可求出.【详解】设函数，则为偶函数，且当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，又，，，所以.故选：B. 8.已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数.则函数可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；求出函数的零点判断B；分析函数的奇偶性，借助导数求出单调区间判断C；求出函数的定义域判断D作答.【详解】对于A，定义域为，，即为奇函数，A不是；对于B，定义域为R，由得，即对任意的正整数k，都是的零点，显然不能满足条件②，B不是；对于C，，必有，则且，即定义域为且，，则函数为偶函数，满足条件①，设，其导数，由得，令，当时，，即在上为增函数，而，在上为减函数，因此在上为减函数，即存在，在上为减函数，满足条件②，C是；对于D，定义域为，不能满足条件②，D不是.故选：C 二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，故；从而，故选项A正确；，，，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.10.某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（） A.图中的B.成绩不低于80分的职工约80人C.200名职工的平均成绩是80分D.若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬【答案】AB【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.【详解】对于A，，得，故A正确；对于B，成绩不低于80分职工人数为，故B正确；对于C，平均成绩为，故C错误；第分位数为，故D错误.故选：AB.11.双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（） A.若，则B.当n过时，光由所经过的路程为13C.射线n所在直线的斜率为k，则D.若，直线PT与C相切，则【答案】CD【解析】【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.【详解】对于A：若，则.因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：二者联立解得：.故A错误；对于B：光由所经过的路程为. 故B错误；对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故C正确.对于D：设直线PT的方程为.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.所以. 故D正确故选：CD12.若，则下列式子可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】构造函数，，得到其单调性且零点情况，分与两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案.【详解】令，则恒成立，所以单调递增，其中，，则存在，使得①当时，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，D正确；②当时，，即（1）当时，，，则成立，故，B正确； （2）当时，，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，，则，所以，所以，又因为，所以，选项C正确.故选：BCD【点睛】对于多元方程或不等式问题，要根据方程或不等式特征构造函数，利用函数单调性进行求解，注意分类讨论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为___________.【答案】25【解析】【分析】由题意可得，从而可求出，则展开式中的系数等于展开式中一次项系数的2倍加上的3次项系数【详解】由题意可知，得，则，展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为.故答案：2514.若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．【答案】【解析】【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决. 【详解】圆的圆心为则有，则，则C的半径为故答案为：15.已知正方体ABCD—的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为___________．【答案】【解析】【分析】作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，计算即可.【详解】如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，所以有，，，，，，则，，，设平面的法向量，则由 ，令，得，设直线BM与平面所成角为，则，故答案为：.16.若函数，，则的最小值为______；若，且，则的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】求函数的导数，根据导数判断其单调性，可求得答案；由可得，变形为，结合函数的单调性可得到，从而表示出，构造函数，利用导数求得最小值.【详解】由题意可得，则，当时，，函数递减，当时，，函数递增，故时函数的极小值点，也是最小值点，故的最小值为；由，且可得，则，即有，由于，当时，，单调递增，故由，可得， 故，令，则，当时，，递减，当时，，递增，故，即得最小值为，故答案为：；【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题，综合性较强，解答时候要注意对等式的合理变形，如将变形为，从而可以为后面构造函数，利用导数解决问题创造条件.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.（1）求的概率；（2）若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）0.1（2）分布列见解析，数学期望为0.2【解析】【分析】（1）由正态分布的对称性求解；（2）X服从二项分布，求出相应的分布列及数学期望.【小问1详解】因为零件尺寸服从正态分布.所以，因为，所以.【小问2详解】依题意可得，所以. ，，所以X的分布列为X012P0810.180.01所以（或）18.已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.（1）判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；（2）若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}【解析】【分析】（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，再根据题意分析f(x1)－f(x2)的正负即可；（2）由（1）有f(x)≤1，再将题意转化为m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立，进而构造函数g(a)＝－2ma＋m2，分类讨论分析即可【小问1详解】f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1].∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.由已知条件得.又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.【小问2详解】∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，∴m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.设g(a)＝－2ma＋m2.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.19.已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，焦距为，点在曲线上.（1）求的标准方程；（2）若是曲线上一点，为轴上一点，.设直线与椭圆交于两点，且满足的内切圆的圆心落在直线上，求直线的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意列出几何量方程组，直接求解可得；（2）先求点P坐标，然后可得直线的斜率关系，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理代入斜率关系，化简可得. 【小问1详解】易知，，又，所以.所以；【小问2详解】因为，所以是的中点.结合轴，所以轴，所以().因为的内切圆的圆心落在直线上，所以直线关于直线对称.所以的倾斜角互补，所以显然直线的斜率存在，设：，由得，由得.设，，则，，由+，整理得，所以，即若，则，所以直线的方程为，此时，直线过点，舍去.所以，即. 所以的斜率为20.手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表：0~20002001~50005001~80008001~1000010001以上男58121213女10121369若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．（1）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；积极型懈怠型总计男女总计附：0.1000.0500.0100.0050.001 2.7063.8416.6357.87910.828，其中；（2）在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望．【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）首先根据题意完成下面的列联表，再计算，即可得到答案.（2）利用超几何分布求解即可【小问1详解】列联表如下：积极型懈怠型总计男252550女153550总计4060100∴有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【小问2详解】100人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人抽取比例为5∶3，抽取男生5人，女生3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，， ∴X的分布列如下X0123P.21.在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．（1）求证：DF∥平面PBE：（2）若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.【小问1详解】设PB的中点为G点，连接GF和GE，因为点G、点F分别为PB和PC的中点，所以且，又且， 所以且，所以四边形GFDE为平行四边形，所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF∥平面PBE；【小问2详解】由二面角的大小为可知，平面平面，取BE得中点O，连接，则，平面，如图建立空间直角坐标系，则，，所以，设平面PCD的法向量为，则，令则，又，所以点A到平面PCD的距离为.22.已知函数，且对恒成立．（1）求的值；（2）若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】 【分析】（1）由题意是极值点，由此求得并证明满足题意；（2）方程化为，证明，即，则有，设，由导数求得函数的单调性，函数的变化趋势后可得参数范围．【详解】解：（1）因为，且，故是函数的极值点，因为，所以，故，又因当时，，且，故在上增函数，在上减函数，故，故；（2）因为，则，设，则，故在上增函数，在上减函数，所以，，因为，所以，设，则，因为，所以，故函数在上减函数，在上增函数， 所以，又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，故，所以实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值，方程的根，解题关键是在于转化，方程根的个数用分离参数法转化为确定函数的性质（单调性，极值，变化趋势等）．利用函数性质得出参数范围．