江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版含解析）

南京师大附中2022-2023学年度第1学期高二年级期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的渐近线方程为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，所以双曲线渐近线为.故选：B2.若将直线沿轴正方向平移3个单位，再沿轴负方向平移2个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别写出平移前后的直线的方程，结合题意运算求解.【详解】由题意可知：直线的斜率存在，设直线的方程为，则平移后直线的方程为，则可得：，即．故选：C.3.若数据，，，…，的方差为7，则数据，，，…，的方差为（） A.7B.49C.8D.64【答案】A【解析】【分析】波动程度没有发生变化.【详解】数据，，，…，到，，，…，，波动性并没有发生变化，所以方差还是7.故选：A4.已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，顶点在椭圆上，则的值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】A【解析】【分析】利用椭圆方程得到，，再利用正弦定理即可求解详解】由椭圆可得，，所以，则，，所以在中，利用正弦定理可得，故选：A5.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题知，，进而根据椭圆的定义得，再求离心律即可. 【详解】：如图，因为点在椭圆上，若，且，所以，，所以，，，因为由椭圆定义得所以，．故选：B6.已知矩形的长为2，宽为1，以为坐标原点，，边分别为轴正半轴，轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若将矩形折叠，使点落在线段上（包括端点），则折痕所在直线纵截距的最小值为（）A.B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据对折的对称性可得，若点折叠后落在上点为，则斜率相乘得，从而得到点的坐标关于的表达式，求得截距即可得到答案.【详解】设折痕所在直线斜率，设点折叠后落在上点为，则与折痕垂直，即，即，所以中点，因此折痕所在直线方程为： ，其纵截距为．故选：B.7.过坐标原点作直线：的垂线，若垂足在圆上，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题设直线与相切，利用点线距离公式得到关于的表达式，即可得范围.【详解】因为垂足在圆上，即直线与该圆相切，所以.故选：C8.已知实数满足，，，则的最大值是（）A.B.6C.D.12【答案】D【解析】【分析】分析所给出条件的几何意义，作图，根据几何意义运用点到直线的距离公式即可求出最大值.【详解】如图： 设，，则原题等价于点，是圆上两点，并且，所以，，所以所求最大值就是两点到直线的距离之和的倍，设AB的中点为M，由上图可知：，就是M点到直线的距离的倍，由于是直角三角形，，设的中点为，所以在圆上运动，所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值，显然，最大值=原点O到直线的距离与圆的半径之和的倍；故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.若曲线：，下列结论正确的是（） A.若曲线是椭圆，则B.若曲线是双曲线，则C.若曲线是椭圆，则焦距为D.若曲线是双曲线，则焦距为【答案】BCD【解析】【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项【详解】对于A，时，系数为正数，系数为负数，曲线不是椭圆，故不正确；对于B，若曲线为双曲线，则，解得，故正确；对于C，若曲线为椭圆，则，故即所以，故正确；对于D，若曲线为双曲线，则，故即，所以，故正确；故选：BCD10.为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A.B.得分在区间内的学生人数为200C.该校学生党史知识竞赛成绩中位数大于80D.估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内【答案】ABD【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可. 【详解】对于A，由频率分布直方图性质得：，解得，故正确；对于B，由频率分布直方图得：成绩落在区间的频率为，所以人数为，故B正确；对于，由频率分布直方图得：的频率为的频率为，所以成绩的中位数位于区间内，故错误；对于D，估计成绩的平均数为：，所以成绩的平均数落在区间内，故D正确.故选：ABD.11.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（）A.B.C.3D.4【答案】AC【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用坐标表示，用同角三角函数的平方关系换元，转化为三角函数的最值问题.【详解】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则由已知有：，，，，即在圆上，所以有，则．故选：AC12.已知点为双曲线右支上一点，、为双曲线的两条渐近线，过点 分别作，，垂足依次为、，过点作交于点，过点作交于点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】设点，利用点到直线的距离公式可判断A选项；分析可知、、、四点共圆，利用圆的几何性质可判断B选项；求出、的面积，可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，设点，则，双曲线的渐近线方程为，即，所以，，A对；对于B选项，由题意可知，，则、、、四点共圆，且为该圆的一条直径，为该圆的一条弦，故，B对；对于C选项，因为双曲线两渐近线的斜率分别为、，所以，双曲线两渐近线的夹角为，由B选项可知，， ，因为，则，因为，则，同理，，所以，，则，C错；对于D选项，由C选项可知，，且，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.【答案】或【解析】【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则，直线方程为，即，当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.故答案为或．【点睛】 本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，可得．所以四边形的面积为8.故答案为：815.已知圆和直线相交于，两点，若射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】先联立方程组求出，两点，然后根据射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转得到，，然后求出答案【详解】，即，，所以，设直线倾斜角为，其中，因为射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，故，，即. 故答案为：.16.已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】过，点作圆，使得，进而得在优弧上运动，再根据几何关系得圆的圆心为，半径为，再根据直线与优弧有交点得，进而求得离心率的范围.【详解】解：如图，过，点作圆，使得，所以，由同弧所对圆周角为定角可知，即在优弧上运动，所以，由可得，即，所以，圆的圆心为，半径为，又因在直线上，所以直线与优弧有交点，即，所以，即椭圆离心率的取值范围为.根据对称性，同理，圆心可以在轴下方时，方法相同，答案相同.故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．17.已知直线l经过两直线：和：的交点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）求得两直线的交点，结合直线的斜率，即可求得直线方程；（2）讨论直线与点之间的位置关系，在不同情况下求对应直线的方程即可.【小问1详解】联立直线的方程：，解得，设直线斜率为，则，所以方程为：.【小问2详解】当在同侧，则//，即，所以方程为：，即； 当在两侧，则中点在上，所以，即；综上所述，直线的方程为或.18.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示．（i）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；（ii）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率．【答案】（1）16家；4家；（2）（i）6家；120家；（ii）.【解析】 【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；（2）由已知题意和图像可先求解出，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.【小问1详解】抽取小吃类商家（家），抽取玩具类商家（家）；【小问2详解】由图可得，（i）该直播平台“优秀商家”个数约为（家）；（ii）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家．设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为，则．19.已知椭圆：的离心率为，点，分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的重心？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线满足题意，其方程为：．【解析】 【分析】（1）利用椭圆的几何性质可得，，结合的面积和离心率求出即可；（2）设，，直线方程，联立直线方程和椭圆方程得关于的解析式，若存在直线使得为重心，则，利用向量加法的坐标公式解的值即可，注意讨论直线斜率不存在的情况.【小问1详解】由已知可得，，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】①当直线斜率存在时，设，，，联立，令，所以，，若存在直线使得为重心，则，即，由解得，此时有，所以存在直线. ②直线斜率不存在时，由重心可知中点应在直线上，而此时明显不成立，综上所述，存在直线满足题意，其方程为：．20.如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆：交于点（与不同），过原点且垂直于的直线与圆：交于，两点．（1）记直线的倾斜角为，求的取值范围；（2）若线段的中点为，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，可分两种情况，当直线斜率存在时，可通过计算直线、直线与圆心的位置关系来判断直线与圆相交，当直线斜率不存在时，此时得到直线、直线即可根据圆的方程直接做出判断；（2）由已知，可分两种情况，当直线斜率存在时，可通过计算圆心到直线、直线的距离来计算三角形面积，当直线斜率不存在时，此时可直接计算三角形面积.【小问1详解】由题意即直线与圆相交，且直线与圆相交，直线斜率存在时，设直线斜率为，即， 由题意有，因为直线倾斜角的范围为，即；直线斜率不存在时，易得：，：，即，，满足题意，此时．综上所述，；【小问2详解】设到直线的距离为，到直线的距离为，则①直线斜率存在时，有，所以，②直线斜率不存在时，．综上所述，面积的取值范围是．21.已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据对称性，定在椭圆上，然后分别讨论，在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程，（2）设，，：，将问题转化为证明的角平分线为定直线，只要证，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论.【小问1详解】根据对称性，定在椭圆上，若也在椭圆上，则，方程组无解，所以为椭圆上第三个点，所以，解得，所以椭圆的方程为：；【小问2详解】由（1）得：，，设，，：．要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线，即证，即，即证，只要证，由，得，，得， 所以所以成立，即得证，即内切圆的圆心在定直线上．