安徽省皖中名校2021-2022学年高一数学下学期期中试题(B卷)（Word版附解析）

2021～2022学年度第二学期高一年级期中考试数学（B卷）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：北师大版必修第二册到第四章第一节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式代入计算．【详解】．故选：D．2.正的边长为1，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，但要注意向量夹角的定义． 【详解】．故选：B．3.要得到的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移变换规则判断即可；【详解】解：将向右平移个单位长度得到．故选：D．4.函数（）的最大值是（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】由同角平方关系并令，结合正弦函数、二次函数的性质判断的区间单调性，进而求最值.【详解】．令，则．而在上单增，所以当时，．故选：A．5.已知是所在平面上的一点，，，则点一定在（） A.内部B.边所在直线上C.边所在直线上D.边所在直线上【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得出，即可得出结论.【详解】，所以，、、三点共线．即点一定在边所在直线上.故选：B.6.已知，其中，分别是轴、轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为（）A.B.5C.D.13【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积的坐标运算求解.【详解】解：因为，所以，又物体从点移到点，所以，所以，故选：A．7.在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】以C为圆心，CA为半径画圆弧，圆弧与BA边应该有两个交点，此时三角形有两解，数形结合即可求出x的范围．【详解】如图，B=45°，CD⊥AB，则，以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，故CA>CD且CA<CB，即，解得．故选：B．8.设，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由条件两边平方结合同角关系可求，结合同角关系求.【详解】因为，所以，，与异号．而已知，所以，．因为，所以取．故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.（）A.是正数B.是负数C.大于D.大于 【答案】ACD【解析】【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.【详解】由于，故2弧度的角是第二象限角，则，故A正确，B错误；，，故,故C，D正确；故选：ACD10.已知向量与不共线，且，则下列结论中错误的是()A.与垂直B.与垂直C.与垂直D.与平行【答案】BCD【解析】【分析】ABC：验证两个向量的数量积是否为零即可判断；D：根据向量共线定理即可判断.【详解】对于A，∵，∴与垂直，故A正确；对于B，∵向量与不共线，∴，∴，故与不垂直，故B错误；对于C，∵向量与不共线，∴，故，∴与不垂直，故C错误；对于D，∵向量与不共线，∴不存在实数λ，使得，故与不平行，故D错误．故选：BCD．11.下列结论正确的是（　　） A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C.若角终边过点，则D.若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A选项的正误；利用扇形面积公式可判断B选项的正误；利用三角函数的定义可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，且为第二象限角，故为第二象限角，A错；对于B选项，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为，B对；对于C选项，由三角函数的定义可得，C对；对于D选项，取，则角为锐角，但，即角为锐角，D错.故选：BC.12.对于函数有下述结论，其中正确的结论有（）A.的定义域为B.是偶函数C.的最小正周期为D.在区间内单调递增【答案】AB【解析】 【分析】对于A，由，且求解判断；对于B，由函数的奇偶性定义判断；对于C，由周期函数的定义判断；对于D，根据，判断.【详解】对于A，因为，且，所以且，，A正确．对于B，因为，所以为偶函数，B正确．对于C，由知，是周期函数，但最小正周期不为，C不正确，对于D，因为，，所以在区间内不单调递增．故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平行四边形中，，，，为的中点，则______．（用、表示）【答案】【解析】【分析】在平行四边形中，利用向量加法的运算法则以及平面向量基本定理进行运算处理．【详解】如图：．故答案为：． 14.已知函数图象一部分如图所示，则此函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】利用函数的图象确定的值，即可求出函数的周期【详解】由函数的最高点的纵坐标可得．将点代入中得，，即，因为，所以．又因为是函数的一个零点，且是图象递增由负到正穿过轴形成的零点所以，解得，所以函数的最小正周期是．故答案为：15.在某个位置测得一旗杆的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进米后，测得旗杆的仰角为原来的4倍，则该旗杆的高度为______米．【答案】【解析】 【分析】在中，由余弦定理求得，得到，结合，即可求解.【详解】如图所示，在中，，由余弦定理得，可得，，所以.故答案为：.16.已知函数（）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的值是______．【答案】##【解析】【分析】先根据题意判定当时，函数取得最大值，进而求出的范围，再利用单调区间长度和周期的关系进行求解.【详解】由题意知，当时，函数取得最大值，所以，，解得，．因为在区间上递增，在上递减，所以且， 解得，因此．故答案为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数的周期为，且，为正整数．（1）求的值；（2）设是的最小值，求函数的单增区间．【答案】（1），3（2），【解析】【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求出的取值范围，再根据，即可得解；（2）由（1）可得再根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：由，解得，又，得，．【小问2详解】解：由（1）可得，则就是．由，，解得，．故此函数的单调递增区间是，．18.设向量，，其中．（1）若，求的值；（2）若，的夹角为锐角，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）用坐标表示向量，利用坐标法求向量的模即可求解；（2）夹角为锐角，向量的数量积大于0，即可求的范围，另外需要考虑两向量平行的情况.【小问1详解】（1）因为，，所以．因此，即，解得．【小问2详解】（2）因为，的夹角为锐角，所以，得，解得．当，平行时，，，．显然时，，同向，夹角不为锐角，所以．故的取值范围是．19.李明回答解答“若，求的值”的过程如下：试类比上述解法，求当时，下列各式的值：（1）（2）（3）（4） 【答案】（1）（2）（3）1（4）【解析】【分析】利用“1”的代换和弦切互化法可一一求出（1）（2）（3）（4）中三角函数式的值.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．【小问3详解】原式．【小问4详解】原式．20.在中，角A，，的对边分别是，，，且向量和向量互相垂直．（1）求角的大小；（2）若外接圆的半径是1，面积是，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，并结合余弦定理运算求解； （2）根据正弦定理可得，在结合面积公式和余弦定理运算处理，注意的使用．【小问1详解】因为，互相垂直，所以，则．由余弦定理得．因为，所以．【小问2详解】∵，则因为，所以．即，则，因此，即．故周长．21.某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示．已知扇形的圆心角，半径为200米．现需要修建的花园为平行四边形，其中、分别在半径、上，在上．（1）求扇形的弧长和面积；（2）设，平行四边形的面积为S．求S关于角的函数解析式，并指出函数的定义域． 【答案】（1）米；平方米；（2），．【解析】【分析】(1)根据弧长公式和扇形面积计算公式即可计算；(2)过作于，过作于，根据几何关系用θ表示出HN和NP，根据平行四边形面积公式即可求出S关于θ的函数解析式．【小问1详解】扇形的弧长为(米)．扇形的面积为(平方米)．小问2详解】过作于，过作于．∵，∴，，∴．故=，即，定义域为．22.如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，． （1）求的值；（2）若恒成立，求实数的最小整数值．【答案】（1）3（2）2【解析】【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得；（2）利用基本不等式可得，进而即得.【小问1详解】连接．因为，，，所以．因为，，共线，所以，．小问2详解】显然，所以等价于， 即．因为，当且仅当，即，时，取到最小值．于是，∴．