安徽省合肥市第六中学、第八中学、168中学等校2021-2022学年高一数学下学期期中试题(A卷)（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期高一年级期中考试数学(A卷)考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版必修第二册到第八章8.4.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中是虚数单位）的虚部是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【详解】解：，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.2.与向量平行的单位向量是（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】 【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解.【详解】因为与向量平行的单位向量是，,所以,故选：D3.异面直线是指（）A.不同在任何一个平面内的两条直线B.平面内的一条直线与平面外的一条直线C.分别位于两个不同平面内的两条直线D.空间中两条不相交的直线【答案】A【解析】【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误.【详解】解：A.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确；B.平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误；C.分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；D.空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误.故选：A4.数学家欧拉通过研究，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到著名的欧拉公式(为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由题可知对应在复平面的点为，由可判断和的正负，进而得到答案. 【详解】由题，，其对应点为,因为知，，，所以点第二象限，故选：B5.在中，，，分别是，，的对边，且，则的大小是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.【详解】解：因为，所以，即.于是，因为，所以.故选：C6.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，，且与夹角为钝角，由上述条件得，，且，不反向，由得，，.当，共线时有，，.此时，反向， 因此实数的取值范围.故选:D7.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面积公式求得，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设分别是和的外接圆圆心，则的中点是三棱柱的外接球球心，求球半径后可得表面积．【详解】设，因为，所以，，而，所以(于是是外接圆的半径)，，即，如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，，所以外接球为.于是球的表面积为.故选：C. 8.的外接圆的圆心为，满足且，，，则（）．A.36B.24C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，在两边分别乘以向量和，可以得到①，②，再根据、①②和①②，得到，联立两式即可求出.【详解】如图，设中点为，中点为，外接圆圆心为和垂直平分线的交点，则，同理，在两边分别乘以向量和，， 即①，②，①②得，，即③，①②得，，即④，联立③④，解得.故选：A【点睛】本题主要考查数量积的计算、三角形外心的概念和向量的运算，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.在中，是中线，则下列等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】延长至，使，根据平面向量加法的平行四边形法则，即可判断A是否正确；由题意可知，结合，根据共线定理即可求出，即可判断B,D是否正确；由于，同底，以及，结合相似关系，可得，即可判断C是否正确.【详解】延长至，使，如下图所示，则是平行四边形，所以，故A正确； 因为，故B正确，D错误；分别故作边的垂线，垂足分别为，如下图所示：则，又，所以，所以与高之比为，又，的底均为，所以，故C正确.故选:ABC.10.下列命题中，正确的有（）A.若与是共线向量，则、、、四点共线B.若，则，，三点共线C.对非零向量，若，则 D.平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示【答案】CD【解析】【分析】可以举反例说明选项AB错误，可以利用数乘向量的性质和平面向量基本定理判断选项CD正确.【详解】对A，因为共线向量所在直线可以平行，所以选项A错误；对B，，，可以组成三角形，所以选项B错误；对C，因为，，所以，即，所以选项C正确；对D，根据平面向量基本定理，可以判断该选项正确，所以选项D正确.故选：CD.11.设，是复数，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】CD【解析】【分析】举反例证明选项A，B错误；利用一般情况证明选项C，D正确.【详解】对A，取，，有，但，且，所以A错误；对B，取，，且，但，所以B错误；对C，设，则，因此，所以C正确；对D，设，，则由得，，，，因此，所以D正确.故选：CD.12.如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱、、上的截点分别是，，，则截面可以是（） A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形【答案】AC【解析】【分析】结合长方体的性质，法1：设，，，由勾股定理可得，，，根据余弦定理可判断内角均为锐角，而当时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案；法2：由，，根据的正负可判断是锐角，同理判断其他内角也为锐角，而当时，这个锐角三角形是等边三角形，即可得到答案.【详解】法1(余弦定理)：由题，如图，设，，，则，，，在中，，所以是锐角，同理得到，，都是锐角，故C对.特别地，当时，是等边三角形，故A对，故选：AC法2(向量法)：因为，， 所以，因此是锐角，同理得到，都是锐角，故C对，特别地，当时，是等边三角形，故A对，故选：AC三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量，，且，则实数的值是______.【答案】1【解析】【分析】由可知，即，进而求解.【详解】因为，所以，则，即，解得，故答案为：114.设是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，则复数和复数在复平面内对应的两点之间的距离是______.【答案】【解析】【分析】整理，由实部与虚部相等可得，则，进而求解.【详解】由题，，则，所以，因此，在复平面内对应的两点之间的距离是，故答案为：15.用半径为1的半圆形纸板卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒内切球的体积是______. 【答案】【解析】【分析】根据题意得圆锥的母线长是1，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，得到圆锥底面的半径，再利用轴截面的性质，结合三角形的面积等于三角形的周长乘以三角形内切圆半径的一半，求得圆锥内切球的半径，利用球的体积公式求得结果.【详解】圆锥筒的母线长是1.设圆锥筒的底面半径是，内切球的半径是，则，.由，.故该圆锥筒内切球的体积是，故答案为：.16.在中，，，若中线的长为，边的长为，则与的函数关系式是______，中线长的最小值是______.【答案】①.②.【解析】【分析】设，则，利用这两个角结合余弦定理，整理可得与的函数关系，根据三角形中两边之和大于第三边可得的范围，进而结合二次函数性质求得的最小值.【详解】由题，设，则，因为，则，如图所示， 在中，由余弦定理得①在中，②①+②得，，由，解得，因为，所以当时，的最小值为，故答案为：；四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.直角梯形的一个底角为，上底长为下底长的一半.将这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的旋转体的表面积为（1）求直角梯形的下底长；（2）求这个旋转体的体积【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由题画出梯形，可得出各边关系，且可知旋转体为一个圆柱和一个圆锥的组合体，则，进而即可求解；（2）由（1）结合圆锥和圆柱的体积公式即可求解.【小问1详解】如图， 在直角梯形中，，，，设，，则，，旋转体是一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以，即，解得，故直角梯形的下底长为2.【小问2详解】由（1），因为圆柱的体积是，圆锥的体积是，所以这个旋转体的体积为.18.已知复数满足，其中是数单位，是复数的共轭复数（1）求复数；（2）若复数是纯虚数，求实数的值【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据复数的相等及乘法运算可求解；（2）由纯虚数的概念建立等式求解即可.【小问1详解】设，，则，就是，即. 于是，解得，所以.【小问2详解】.此为纯虚数，所以，即，因此.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，，，（1）当时，试判断，，三点是否共线，写出理由；（2）若，，三点构成直角三角形，求实数的值【答案】（1）共线，理由见解析（2）或【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件进行运算求解即可；（2）分三种情况分别计算数量积为0时，实数k的值即可.【小问1详解】因为,,所以，且有公共点A,故，，三点共线.【小问2详解】由(1)知，，，，若，则，即，.若，则，即，若，则，即，，无实 根.故实数的值为或.20.设的内角，，所对的边分别为，，，向量与向量平行.（1）确定角和角之间的关系；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系，建立等量关系式，利用余弦倍角公式，结合角的范围，得到；（2）结合正弦定理，以及（1）的结论和正弦倍角公式得到，根据锐角三角形，得到，进而求得结果.【小问1详解】由得，即，因为，，所以，.【小问2详解】. 由是锐角三角形得，解得于是，，故的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关三角和向量的综合题目，在解题的过程中，注意利用向量共线建立等量关系式，注意根据三角函数值相等得到角的关系时，一定注意角的范围，最后得范围时要注意根据锐角三角形正确求得角的范围.21.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点处，2号机器人在点处，3号机器人在点处，且，，米，如图所示（1）求1号机器人和2号机器人之间的距离；（2）若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球.若已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，则2号机器人最快可在何处截住足球？【答案】（1）米（2）可在线段上离点7米的点处截住足球【解析】分析】（1）直接由正弦定理即可得结果；（2）设2号机器人最快可在点处截住足球，利用余弦定理解出即可.小问1详解】在中，由正弦定理得， 即，故1号机器人和2号机器人之间的距离为米【小问2详解】如图，设2号机器人最快可在点处截住足球，点在线段上设米.由题意，米.米在中，由余弦定理得，整理得.解得，.所以，或(不合题意，舍去)故2号机器人最快可在线段上离点7米的点处截住足球22.如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，.（1）求的值:（2）若向量，，且恒成立，求实数最小整数值. 【答案】（1）3（2）2【解析】【分析】（1）利用向量的加法及三点共线的结论即得；（2）利用三角公式得出，利用基本不等式求出的最小值，进而得出答案.【小问1详解】连接.因为，，，所以因为，，共线，所以，【小问2详解】显然，所以等价于，即因为， 当且仅当，即，时，取到最小值于是，故故实数的最小整数值是2.