浙教版八下课后作业5.1 第1课时 矩形

5．1　矩形(1)1．在矩形ABCD中，其中三个顶点的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(5，3)，则第四个顶点的坐标是()A.(0，3)B.(3，0)C.(0，5)D.(5，0)2．如图，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为()A．1B.C.D．23．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上．若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是()A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S24．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的中点F处，折痕为AE.若CD＝6，则AE等于()A．4B．3C．4D．85．如图，矩形ABCD的周长为20cm，AC交BD于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则△CDE的周长为() A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm6．如图，E是矩形ABCD的边AD的延长线上一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，则下列结论不正确的是()A.△AOB≌△BOC　B.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EOD　D.△AOD≌△BOC7．如图，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，顶点B的坐标是(4，2)，若直线y＝mx－1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m的值为()A.1B.0.5C.0.75D.28．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF等于()A.B.C.D.9．如图，已知矩形纸片ABCD的长为8，宽为6，把纸片对折，使点A与点C重合，求折痕EF的长．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连结OE，OF.求证：OE＝OF. 11.如图，在矩形ABCD中，F是BC上一点，连结AF，AF＝BC，DE⊥AF，垂足为E，连结DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线．12．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18cm，宽为16cm的矩形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积．13．如图，将一个长和宽分别为8和4的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．14.已知矩形的对角线长为，而它的两邻边a，b的长满足m2＋a2m－12a＝0，m2＋b2m－12b＝0(m≠0)，求矩形的周长． 15．阅读以下材料，然后解决问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在矩形这条边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的友好矩形．如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的友好矩形．显然，当△ABC是钝角三角形时，其友好矩形只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形．(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，在图②中画出△ABC的所有友好矩形，并比较这些矩形面积的大小．(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△BAC的所有友好矩形，指出其中周长最小的矩形并加以证明． 参考答案1-8ACBADAAB9.解：连结AC，AE，CF，设AC与EF交于点O，由题意可得EF是AC的中垂线，∴AE＝EC.设AE＝EC＝x，则BE＝8－x.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AO＝OC＝AC.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝.∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10.∴AO＝AC＝5.在Rt△AOE中，AO2＋OE2＝AE2，即OE2＝AE2－AO2，∴OE＝＝.易证△AOF≌△COE(ASA)，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝.10.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°， AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.在△ODE与△OCF中，∵∴△ODE≌△OCF(SAS)．∴OE＝OF.11.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB.∵DE⊥AF，∴∠DEA＝∠B＝90°.∵AF＝BC，∴AF＝AD，∴△ABF≌△DEA(AAS)．(2)由(1)知△ABF≌△DEA，∴AB＝DE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，DC＝AB.∴DC＝DE.∵DF＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△DCF(HL)， ∴∠EDF＝∠CDF，即DF是∠EDC的平分线．12.解：分三种情况：①如解图①，在△AEF中，AE＝AF＝10cm，∴S△AEF＝AE·AF＝×10×10＝50(cm2)．②如解图②，在△AGH中，AG＝GH＝10cm，∴BG＝AB－AG＝16－10＝6(cm)．根据勾股定理，得BH＝8cm.∴S△AGH＝AG·BH＝×10×8＝40(cm2)．③如解图③，在△AMN中，AM＝MN＝10cm，∴MD＝AD－AM＝18－10＝8(cm)．根据勾股定理，得DN＝6cm.∴S△AMN＝AM·DN＝×10×6＝30(cm2)．综上所述，剪下的等腰三角形的面积为50cm2或40cm2或30cm2.13.解：由折叠知∠AEF＝∠FEC，AE＝CE.设BE＝x，则AE＝CE＝8－x.在Rt△ABE中，BE2＋AB2＝AE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴BE＝3，AE＝5.过点F作FH⊥BC于点H. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝5，∴BH＝AF＝5，∴EH＝5－3＝2.在Rt△EFH中，EF＝＝＝2.14.解：根据m2＋a2m－12a＝0，m2＋b2m－12b＝0(m≠0)可得a，b恰为方程mx2－12x＋m2＝0的两个根，∴a＋b＝，ab＝m.∵a2＋b2＝()2，即(a＋b)2－2ab＝10，∴－2m＝10，∴m3＋5m2－72＝0，∴(m－3)(m2＋8m＋24)＝0，∴m－3＝0或m2＋8m＋24＝0.∵m2＋8m＋24＝(m＋4)2＋8>0，∴m2＋8m＋24≠0.∴m＝3.∴矩形的周长为2(a＋b)＝＝8.15.解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在平行四边形这条边的对边上，那么称这样的平行四边形为三角形的友好平行四边形．（解①)(2)此时共有2个友好矩形，如解图①中的矩形BCAD，矩形ABEF. 易知矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC的面积的2倍，∴△ABC的友好矩形的面积相等．(3)此时共有3个友好矩形，如解图②中的矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：（解②)易知这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC＝a，CA＝b，AB＝c，则L1＝＋2a，L2＝＋2b，L3＝＋2c，∴L1－L2＝－＝2(a－b)·.∵ab＞S，a＞b，∴L1－L2＞0，即L1＞L2.同理，L2＞L3，∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．