浙教版八年级下册课件5.1 矩形

第5章特殊平行四边形5.1矩形（1） 合作学习用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形（如图）.（1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同特点？说出你的理由.（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由.（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？a αADADBCADAD ABCD有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.ABCD（１）矩形的定义：（３）实质上：矩形是特殊的平行四边形.（２）矩形的表示：矩形ABCD.一个角是直角 小学里学过的长方形、正方形都是矩形.想一想：你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形？ 矩形的性质的研究我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪些性质吗?五、矩形的两条对角线互相平分三、矩形的两组对角分别相等二、矩形的两组对边分别相等一、矩形的两组对边分别平行四、矩形的邻角互补六、矩形是一个中心对称图形四个角都是直角.对角线相等. 如图，四边形ABCD是矩形。O探索矩形的特殊性质：ABCD(1)矩形的四个角的度数分别为多少？(2)对角线AC与BD间有什么关系？ 由动手操作时猜想“矩形的四个角都是直角”,请你结合图形,说明一下理由.(不必写出过程)性质定理1：矩形的四个角都是直角.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.矩形特有的性质 由动手操作时猜想“矩形的对角线相等”.请你写出证明过程：性质定理2：矩形的对角线相等符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线,求证：AC=BD.证明：在矩形ABCD中,∵AB=CD(平行四边形的对边相等),∠ABC=∠DCB=90°(矩形的四个角都是直角),BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴AC=BD.AOBCD 探究一：在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.OA,OB,OC,OD这四条线段有什么数量关系？OA=OB=OC=OD.想一想:如上图,矩形的两条对角线把矩形分成了几个等腰三角形?图中一共有几个直角三角形？有几对全等三角形？请把他们写出来.又∵OA=OC=AC,OB=OD=BD∴AC=BD∴OA=OB=OC=OD.解：(平行四边形的对角线互相平分),∵四边形ABCD是矩形,(矩形的对角线相等).ABCDO 在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.探究二：（1）若∠AOD=120°，试判断⊿ABO的形状；（2）若∠AOD=120°,AB=4cm,你能求出哪些线段的长度？你能求出这个矩形的周长和面积吗？方法归纳:这个例题说明很多矩形的问题可以转化为什么图形来解决？4⊿ABO为等边三角形矩形问题直角三角形和等腰三角形问题转化 例已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点0,∠AOD=120°,AB=4cm,求：（1）判断△AOB的形状；（2）矩形对角线的长.ABCD120°O4 1.在矩形ABCD中,AE⊥BD于E，若BE=OE=1，则AC=_____,AB＝______,∠AOB=______.2.在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.求证：四边形AEFD是矩形.练一练O第1题图第2题图2460° ABCDO探索矩形的对称性:矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形想一想矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条?是中心对称图形吗？ 练一练在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,已知AB=6，BC=8，(1)求AC=，BD=。(2)矩形ABCD的周长是，面积是。ABCDO1010284868 已知:如图,过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E。求证：∠CAE=∠CEA。ABCDE相信你,一定行 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A落在点E处，BE交CD于点F。已知∠ABD=30°.（1）求∠CDE的度数。（2）求证：EF=FC。BADCFE我能行 请你当设计师某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案，由圆和正方形组成（圆和正方形个数不限），并且使整个矩形地成轴对称图形，请在矩形中画出你的设计方案。 矩形的四个角都是直角.※矩形的性质定理1矩形的对角线相等.※矩形的性质定理2矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.※矩形的对称性矩形是中心对称图形,又是轴对称图形.这节课你学到了什么?还有什么困惑吗？ 跳一跳,够得着!已知:如图,在矩形ABCD中,M为BC的中点.求证:（2）若要使∠AMD是直角，应添加什么条件？（1）AM=DM. 小结反思1.一个定义：2.两个定理:3.两个结论:(1)矩形的对角线相等且互相平分，并把矩形划分成四个等腰三角形,有八对全等三角形。(2)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。这节课你学到了什么?还有什么困惑吗？ 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AEFD是矩形。DFCAEB做一做 已知:如图,过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于点E。求证：∠CAE=∠CEA。ABCDE相信你,一定行 第5章特殊平行四边形5.1矩形（2） 回顾：矩形有哪些性质？OABCD(1)AB//CD且AB=CD，AD//BC且AD=BC(2)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90O(3)OA=OB=OC=OD（矩形的对角线相等且互相平分） 木工师傅(1)测量两组对边,发现两组对边分别相等;(2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角.由此说明这个窗框是矩形你知道这是为什么吗?有一个角是直角的平行四边形叫做矩形你知道吗？矩形的定义： 2、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？ABCD矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？合作学习请大家自己进行证明逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。真命题 （1）测量两组对边,发现两组对边分别相等;（2）测量对角线，发现两条对角线相等.由此说明这个窗框是矩形你知道这是为什么吗?（用所学的知识去证明）ABCD已知：如图，在□ABCD中，AC=BD求证：□ABCD是矩形想一想你觉得矩形还有其他判定方法吗？ 证法一ABCD证明：在□ABCD中，AB=CD又∵AC=BD，BC=CB∴△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB又∵∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°∴□ABCD是矩形已知：如图，在□ABCD中，AC=BD求证：□ABCD是矩形 ABCDO在□ABCD中，AO=OC，BO=DO，证明：又∵AC=BD∴AO=BO=CO∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°∴∠OBA+∠OBC=90°即∠ABC=90°∴□ABCD是矩形证法二已知：如图，在□ABCD中，AC=BD求证：□ABCD是矩形 ABCD矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言：∵AC=BD∴□ABCD是矩形 矩形有几种判定方法？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）四边形平行四边形矩形有一个角是直角对角线相等有三个角是直角方法总结： 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）对角互补的平行四边形是矩形。（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。（3）对角线相等的四边形是矩形。（4）内角都相等的四边形是矩形。练一练 2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.求证：四边形EFGH是矩形.ABCDEFGHO证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AO=CO=BO=DO,∵AE=CG=BF=DH,∴OE=OG=OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形.∴四边形EFGH是矩形.又∵EG=FH, 例已知:如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形.证明:在□ABCD中,OA＝OC,OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分).又∵∠1＝∠2, ∴OA＝OB. ∴OA＝OB＝OC＝OD,即AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 变式练习已知：如图，AC与BD相交于点O，ABCD且∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形. ［问题］一张四边形纸板ABCD的形状如图，（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？ＥＦＧＨ⑵四边形ABCD满足什么情况下中点四边形EFGH为矩形？并说明理由．解：分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，可剪得中点四边形EFGH为平行四边形．两条对角线互相垂直，AC⊥BD 例2一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？(2)(1)OODBCAACBDGFHE ＥＦＧＨ理由如下：∵GH是△ACD的中位线∴GH∥AC１２３∵AC⊥BD∴∠１＝90°（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）∴∠2＝∠1＝90°∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD∴∠3＝∠2＝90°.４５（三角形的中位线平行于第三边）同理可得：∠4＝90°，∠5＝90°∴四边形EFGH是矩形．（有三个角是直角的四边形是矩形） 做一做1.已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是CB，∠B=∠D=90°。求证：四边形ABCD是矩形。ADCB 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形MNPQ是矩形。AQPNMDCB做一做 3.在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（-a，-b），D（-a，-c）（a≠0，b≠c）。若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由。做一做 谈谈你的收获、感受！判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定方法：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形