陕西省部分2022-2023学年高二理科数学上学期期末试题（Word版附解析）

高二数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：北师大版必修5占30%，选修2-1占70%.第Ⅰ卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.椭圆的长轴为（）A.1B.2C.3D.42.在中，内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.5D.63.已知.则下列命题中，真命题是（）A.B.C.D.4.如图，在四面体中，是的中点，，设，则（）A.B.C.D.5.已知等比数列的前项乘积为，若，则（）A.1B.2C.3D.46.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心 率是（）A.B.C.D.7.已知空间三点，则到直线的距离为（）A.B.C.D.8.已知数列满足，则“”是“”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，分别为的中点，点在线段上，与交于点，若平面，则（）A.B.C.D.110.设，则的最小值为（）A.B.C.1D.211.已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（）A.B.C.D.12.如图，平行六面体的体积为，且分别为的中点，则（） A.B.平面C.D.到平面的距离为第Ⅱ卷二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知双曲线的焦距为10，则__________.14.若满足约束条件则的最小值为__________.15.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，则__________.16.已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上的一点，若，则__________.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知抛物线是抛物线上的点，且.（1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.18.（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.（12分）如图，在长方体中，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）设，当的值最大时，求的面积.21.（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱形，且分别是的中点. （1）证明：平面平面.（2）求二面角的大小.22.（12分）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值.高二数学试卷参考答案（理科）1.D椭圆的长轴为4.2.A由余弦定理可得，所以.3.C由题意可得为真命题，为假命题.故为真命题.4.B因为是的中点，，所以.5.A因为，所以.因为，所以.6.C因为的渐近线方程为，所以.7.B， 到直线的距离为.8.C因为，所以或，故“”是“”的必要不充分条件.9.C以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则.设平面的法向量为，则令，得.设，则.因为平面，所以，则，即0，解得，故.10.A，当且仅当，即时，等号成立.11.A如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为，则，所以的周长为.设函数，则为减函数，因为，所以的解为.12.D因为，且，所以四边形的面积为. 因为平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为.因为，所以在底面的投影在上.设在底面的投影为，则，因为，所以.因为，所以为的中点.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.因为，所以与不平行，故错误.设平面的法向量为，则令，则.因为，所以与平面不平行，故B错误.因为，所以与不垂直，故C错误.设平面的法向量为，则令，得.因为，所以到平面的距离为 ，故正确.13.，解得或（舍去）.14.作出可行域（图略），当直线经过点时，取最小值，最小值为.15.4取的中点，连接.16.3因为，所以.17.解：（1）因为，所以，故抛物线的方程为.（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则 两式相减得，整理得.因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.18.解：（1）当时，.当时，，所以，因为也满足，所以通项公式为.（2）因为，所以.19.解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为， 则令，得.（1）设异面直线与所成的角为，则即异面直线与所成角的余弦值为.（2）设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）由三角形的性质和正弦定理可知，其中，所以，因为，所以，故.（2）由正弦定理有，且，其中，所以当时，有最大值，此时，所以，由正弦定理有，故， 所以.21.（1）证明：取的中点，连接.因为，所以.在中，，所以为等边三角形，所以.因为，所以平面.因为分别是的中点，所以，所以平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面.因为，所以可求得四棱锥的高为以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，..记平面的法向量为，则令，得.记平面的法向量为， 则令，得.因为，且二面角为钝角，所以二面角为.22.（1）解：由题意知.因为双曲线的渐近线方程为，所以.因为，所以，故双曲线的标准方程为.（2）证明：设.①当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组化简得，则，即，且因为，所以，化简得， 所以或，且均满足.当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点.②当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线，联立方程组得（舍去）或，此时直线也过定点.因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径.故存在定点，使为定值6.