陕西省榆林市2022-2023学年高二理科数学上学期期末试题（Word版附解析）

榆林市高二年级教学质量过程性评价数学（理科）注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题：，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：，.故选：D.2.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，计算随机数中每组数中有2个数字在集合中判断即可【详解】由题意，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为故选：B3.已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据坐标可求出，进而可求得答案.【详解】，，，，平面与平面的夹角为，故选：A4.已知双曲线C：的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题知，，双曲线的焦点在轴上，进而求得，再求渐近线方程即可得到答案．【详解】题知，，双曲线的焦点在轴上，则，所以双曲线C的渐近线方程为．故选：D． 5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将方程转化为，根据焦点在轴上椭圆的标准方程列方程组即可.【详解】由题知：表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故选：D.6.如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.【详解】由已知得，，故选：C7.连续掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为0B.事件“”为必然事件C.事件“”与“”为对立事件D.事件“m是奇数”与“”为互斥事件【答案】D【解析】【分析】利用列举法和概率公式计算可知A错误；根据必然事件的概念可判断B错误；根据互斥、对立事件的概念可知C错误，D正确.【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有：，，，，，，共36种，对于A，事件“”所包含的基本事件有6个，所以概率为，故A错误；对于B，事件“”所包含的基本事件有0个，为不可能事件，故B错误；对于C，事件“”与“”可以同时发生，不是对立事件，故C错误；对于D，事件“m是奇数”与“”不能同时发生，所以事件“m是奇数”与“”互为互斥事件，故D正确.故选：D 8.为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A校、B校、C校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（）A.测试成绩前200名学生中B校人数超过C校人数的1.5倍B.测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上C.测试成绩在51—100名学生中A校人数多于C校人数D.测试成绩在101—150名学生中B校人数最多29人【答案】C【解析】【分析】根据饼状图和A校前200名学生的分布条形图，逐个分析判即可【详解】解：对于A，B校人数为，C校人数为，因为，所以A正确；对于B，A校前100名的人数有，所以B正确；对于C，A校在51—100名的学生有25人，C校在1—200名的学生有40人，也有可能在51—100名的学生有25人，所以C错误；对于D，A校在1—100名和151—200名的学生共有人，A校在101—150的有21人，C校在1—200名的有40人，但在101—150的不一定有40人，而三个学校中在1—100名和151—200名内的人数至少有150人，所以B校至少有人在1—100名和151—200名内，则B至多有人在101—150内，所以D正确，故选：C9.“k<2”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分 也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可【详解】∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选：A.10.已知命题p：离心率越小，椭圆的形状越扁；命题q：在区间随机取1个数，则取到的数小于0.6的概率为0.6，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断两个命题的真假，再根据复合命题的真假关系判断.【详解】由离心率定义可知，椭圆离心率越小，椭圆的形状越圆，所以命题是假命题，根据几何概型可知，命题是真命题，所以根据复合命题真假的判断方法可知，是真命题.故选：B11.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角平面角大小为，则面积的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得面积的取值范围【详解】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，由二面角的平面角大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q轨迹是过点D的一条线段.设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，， ，所以，，．易知平面APD的一个法向量为，设平面PDG的法向量为，则，即，令，得，，所以是平面PDG的一个法向量，则二面角的平面角的余弦值为，解得或（舍去），所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为．故选：B．12.已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，，，所以，因为，所以又因为平分，所以， 由，得，所以，即所以故选：B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则______.【答案】2【解析】【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为，因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，所以点P到抛物线C的准线的距离为，解得，故答案：214.古代科举制度始于隋而成于唐，后不断发展，明清时达到鼎盛.明代会试分南卷､北卷､中卷，按的比例录取.若某年会试录取人数为，则中卷录取人数为__________.【答案】10【解析】【分析】利用中卷所占的比例乘以录取总人数即可求得结果. 【详解】由题意知，会试录取人数为，则中卷录取人数为.故答案为：.15.某校举行跑操比赛，邀请7名老师为各班评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，剩余分数的平均分为各班的最终得分.现评委为高二（1）班的评分从低到高依次为，，…，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是高二（1）班去掉一个最高分和一个最低分后，计算最终得分的一个算法流程图，则图2中的输出的S为______，判断框内可填的一个条件为______.【答案】①.87②.（答案不唯一）【解析】【分析】该程序框图运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.【详解】由茎叶图可知，最高分为95分，最低分为72分，剩余5个分数为78，85，86，92，94，所以平均分为，模拟程序的运行过程可知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，程序框图中最后要计算到，所以可以填写.故答案为：87， 16.已知抛物线C：的准线为l，圆E：，点P，Q分别是抛物线C和圆E上的动点，点P到准线l的距离为d，则的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】由抛物线的定义及圆的性质可知，再利用两点之间的距离公式即可求解.【详解】抛物线C：的准线为，焦点圆E：，圆心，半径，由抛物线的定义知，所以，由圆的性质知，即所以，当且仅当三点共线时，等号成立.又，所以故答案为：4.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知不透明的袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有3个黑球（记为，和），2个红球（记为和）.（1）求随机抽取一个球是红球的概率；（2）如果不放回地依次抽取两个球，求两个球都是黑球的概率. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求法，即可得随机抽取一个球是红球的概率；（2）列举出所有抽取两个球的事件，判断两个球都是黑球的事件数，即可得概率.【小问1详解】由题设，5个球有2个红球，故随机抽取一个球是红球的概率为.【小问2详解】抽取两个球的事件有：、、、、、、、、、，共10种，其中两个球都是黑球的有、、，共3种，所以两个球都是黑球的概率.18.农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了6株麦苗测量株高，得到数据如下（单位：cm）：甲11.212.411.713.514.213.8乙12.113.812.114.113.910.8（1）分别求出甲、乙麦苗株高的平均数；（2）分别求出甲、乙麦苗株高的方差，并分析甲、乙哪种麦苗的苗更齐.【答案】（1）12.8；12.8（2）1.23；1.48，甲种麦苗的苗更齐.【解析】【分析】（1）由表中的数据结合平均数的公式可求得答案；（2）利用方差的公式求解比较即可.【小问1详解】甲种麦苗株高的平均数为， 乙种麦苗株高的平均数为.【小问2详解】由（1）知，甲、乙的平均株高相等．甲种麦苗株高的方差为：，乙种麦苗株高的方差为：.因为，所以甲种麦苗的麦苗更齐．19.如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，平面ABCD，，，点E在上，且.用空间向量知识解答下列问题：（1）求证：平面BDE；（2）求直线与平面BDE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积公式可求得 ，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）设直线与平面所成角的为，则可得答案；【小问1详解】以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，又平面，且，所以平面，【小问2详解】易知，所以，由（1）平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的为，则 20.某型号机床的使用年数x和维护费y有下表所示的统计数据：x/年23456y/万元2.03.56.06.57.0已知x与y线性相关.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）某厂有一台该型号的机床，现决定当维护费达到15万元时，更换机床，请估计使用12年后，是否需要更换机床？参考公式：，.【答案】（1）（2）估计使用12年后，需要更换机床.【解析】【分析】（1）根据所给数据求出，即可求出，从而求出回归方程；（2）当时，求出，可估计使用12年后的维修费用，进而判断是否需要更换机床.【小问1详解】由题意得，，，，∴，，∴y关于x的线性回归方程为：.【小问2详解】由（1）得， 当时，，∴估计使用12年后，需要更换机床.21.已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2．（1）求实数p的值；（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）2（2）或．【解析】【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点与准线的距离相等可得到结果（2）通过联立抛物线与直线方程利用韦达定理求解关系式即可得到结果【小问1详解】抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为2，所以，解得．【小问2详解】抛物线C的焦点坐标为，当斜率不存在时，可得不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为．联立方程，得，显然，设，，则，所以，解得所以直线l的方程为或22.已知圆A：，T是圆A上一动点，BT的中垂线与AT交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；（2）过点（0，2）的直线l交曲线C于M，N两点，记点P（0，）.问：是否存在直线l，满足PM=PN？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，y=±x+2.【解析】【分析】（1）由椭圆定义确定轨迹是椭圆，然后求出得椭圆方程；（2）假设存在满足题意的直线，设出直线方程，代入椭圆方程后，由直线与椭圆相交得参数范围，设，应用韦达定理得，求出线段的垂直平分线的方程，由点在这个垂直平分线求得参数值．【小问1详解】由条件得，所以的轨迹是椭圆，且，所以，所以的方程为.【小问2详解】假设存在满足题意的直线，显然的斜率存在且不为0，设，由得，则，得，设，则， 所以的中点坐标为，因此，的中垂线方程为，要使，则点应在的中垂线上，所以，解得，故，因此，存在满足题意的直线l，其方程为y=±x+2.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中存在性问题，解决存在问题的方法是先假设存在，在直线与椭圆相交时，设出直线方程，设交点坐标为，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，把这个结论代入题中其他条件求解．