陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高二理科数学上学期期中试题（Word版含解析）

武功县2022~2023学年度第一学期期中教学质量检测高二数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式的解集为（）A.B.（－4，1）C.（－1，4）D.【答案】C【解析】【分析】直接用因式分解求得解集即可.【详解】因为不等式可化为:解得:所以解集为:.故选:C.2.已知是等差数列，，，则公差等于（）A.3B.4C.-3D.-4【答案】C【解析】【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．【详解】，，则的公差，故选：C3.若，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意求得，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，，即，可得，所以，故A，B错误；由，可得，，则，故C错误；由，可得，故D正确．故选：D.4.下列不等式中正确的是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对AD，举反例判断即可，对BC，根据基本不等式取相等的条件逐个选项判断即可.【详解】对A，当时，，故A错误；对B，因为，当且仅当，即时取等号，但题设，故B错误；对C，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，故成立，故C正确；对D，当时，，故D错误；故选：C 5.在中，若，，，则此三角形解的情况为（）A.无解B.两解C.一解D.解的个数不能确定【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.【详解】由正弦定理，得，得，因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.故选：C.6.在△ABC中，若三边之比，则等于（）A.B.C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果.【详解】根据正弦定理可得.故选：B.7.等差数列的前n项和为，若，，则（）．A.27B.45C.18D.36【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列， 所以，所以，故选：B．8.若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．故选：D．9.有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项和求和公式得解.【详解】解：由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，所以第26天屠的肉的两数为，所以最后5天屠的肉的总两数为.故选：C 10.已知，则的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】由已知可得，再由基本不等式可得，求解关于的二次不等式，即可得出结论.【详解】由，可得.两边同时乘以，可得.因为，当且仅当，即，时，等号成立，则，即，解得（舍去）或.故选:C.【点睛】本题考查代数式的范围、基本不等式、一元二次不等式，根据条件构造应用基本不等式是解题的关键，属于中档题.11.若关于x的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】由，当时，不等式的解集为空集，不符合题意；当时，不等式的解集为：，要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数，只需满足，即，当时，不等式的解集为：，要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数，只需满足，即,综上所述：，故选：B12.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（）A.B.C.10D.【答案】D 【解析】【分析】由题意得,，然后先在中利用正弦定理求出，再在中利用正弦定理求出，从而可求出DE的长度【详解】因为，，，所以,，在中，由正弦定理得，，因为，所以,在中，由正弦定理得，所以，所以,故选：D 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在正项等比数列中，，则______．【答案】2【解析】【分析】依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决．【详解】在正项等比数列中，，所以，所以，，．故答案为：214.若变量x，y满足约束条件，则2x＋y的最大值为．【答案】【解析】【详解】试题分析：，③，①+③得，即的最大值为，故答案为.考点：不等式的性质.15.已知a，b，c为互不相等的实数，，，则P与Q的大小关系为______．【答案】【解析】【分析】用作差法结合基本不等式求解即可【详解】 ，因为，当且仅当取等，又a，b，c为互不相等的实数，所以，所以故答案为：16.已知数列的前n项和满足，则数列的前2022项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，再结合裂项求和法，即可求得结果.【详解】当时，，又满足，故，则数列的前2022项的和.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：等差数列中，，，公差．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和的最大值及相应的n的值． 【答案】（1）（2）当n＝10或11时，最大值55．【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式求解即可；（2）先求出，再由二次函数的性质求解即可【小问1详解】∵为等差数列，∴．∴解得或因为，所以，故解得∴．小问2详解】∵，又，函数图像的对称轴为直线，故当n＝10或11时，取得最大值，其最大值为55．18.己知x，y都是正实数，（1）若，求的最小值．（2）若，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）6.【解析】【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；（2）直接利用基本不等式求解.【小问1详解】.当且仅当时等号成立.所以的最小值为9.【小问2详解】.当且仅当时等号成立.所以的最大值为6.19.在中，内角A，B，C对应的边分别为，，，已知．（1）求角B的大小；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】(1)根据正弦定理可得，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得解.【小问1详解】在中，由正弦定理得， ∵，代入化简得，∵，∴，∴，又显然，即，∴，又∵，∴.【小问2详解】∵，由，得．在△ABC中，由余弦定理，得∴，∴，∴△ABC的周长为3．20.请回答下列问题：（1）若关于的不等式的解集为或，求，的值.（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）、（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．【小问1详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；【小问2详解】解：不等式，即，即 ，当时，原不等式解集为；当时，方程的根为，，①当时，，原不等式的解集为或；②当时，，原不等式的解集为；③当时，，原不等式的解集为；④当时，，原不等式解集为．21.已知的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）设为边上的中点，点在边上，满足，且，四边形的面积为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角化简所给式子，再借助运用两角和的正弦公式化简即可得到答案.（2）由（1）的结论和三角形内角和可得角的大小，再由正弦定理可表示出和中的边长，进而求出两个三角形的面积，再由四边形的面积等于两个三角形的面积之差可求出的值，再由余弦定理可得线段的长．【小问1详解】证明：，由正弦定理得，又，， 即，，，即，或，即（舍），故：证得．【小问2详解】，，，D为BC的中点，，，，，，解得，，，，在中，由余弦定理可得：，故：线段CE的长为．22.已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(Ⅰ)通过是的等差中项可知，结合 ，可知，进而通过解方程，可知公比，从而可得数列的通项公式；(Ⅱ)通过(Ⅰ)，利用错位相减法求得，对任意正整数恒成立等价于对任意正整数恒成立，问题转化为求的最小值，从而可得的取值范围.【详解】(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为依题意，有,代入,得，因此,即有解得或又数列单调递增，则故.(Ⅱ)①②①-②，得对任意正整数恒成立对任意正整数恒成立，即恒成立，,即的取值范围是.【点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.