陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三理科数学上学期质量检测（四）试题（Word版附解析）

宝鸡教育联盟高三教学质量检测（四）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：北师大版集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，不等式选讲，立体几何.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式把集合求出来，然后利用集合的基本运算得到结果.【详解】∵，∴.故选D.2.已知为非零实数，，若，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断，可举反例说明不等式是错误的． 【详解】对A，当时，不成立，所以A错误；对B，当时，不成立，所以B错误；对C，当时，不成立，所以C错误；对D，因为，所以，即，正确.故选：D．3.无线电在传播过程中会进行衰减，假设某5G基站的电磁波功率衰减量L（单位：dB）与发射器的发射功率P（单位：W/mW）之间的关系式为，取，则P从5变化到10时，衰减量的增加值约为（）A.2dBB.3dBC.4dBD.5dB【答案】B【解析】【分析】根据题中关系式，结合对数运算性质求解即可.【详解】当P＝5时，；当P＝10时，.∴衰减量的增加值为.故选：B.4.在数列中，已知，且，则其前项和的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】采用并项求和的方式，自第二项起每两项作和，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】.故选：C. 5.若，则的值为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据倍角公式，三角函数的基本关系式，化齐次，弦化切即可求解.【详解】，故选：D6.在等差数列中，为前n项和，若，则（）A.11B.19C.25D.33【答案】D【解析】【分析】根据等差数列性质可得，然后利用等差数列的求和公式即得.【详解】∵，∴，即，∴.故选：D.7.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先可根据得出，然后根据题意得出，通过计算即可得出结果. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增，所以，解得，的取值范围为，故选：A.8.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；②当时，为开口方向向上的二次函数，只需，即；③当时，为开口方向向下的二次函数，则必存在实数，使得成立；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.9.已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】B 【解析】【分析】根据函数的周期性以及函数表达式可得，进而根据基本不等式乘“1”法，即可求解.【详解】∵，∴是周期为6的周期函数.又，∴.∴.∴，当且仅当，即，时，取等号.故选：B.10.等差数列{}的前n项和为，满足，，则使的n的值为（）A.9B.11C.10D.12【答案】B【解析】【分析】根据可得，再结合等差数列的前n项和公式即可求得答案.【详解】由题意，，，故使n的n=11，故选：B11.如图，三棱锥的展开图为四边形，已知，，，则三棱锥的体积为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】连接，，根据三角形相关性质可得各棱长，进而可得平面，可得三棱锥体积.【详解】如图所示，连接，，且，，由已知得，，故，则与，均为等腰三角形，且，，故点为中点，点为中点，所以，又，所以，，故， 还原三棱锥如图所示，可得，，，所以，,即，，所以平面，故.故选：D.12.设，，，则a，b，c之间的大小关系为（）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.a＜c＜b【答案】A【解析】【分析】构造函数，，借助函数的单调性分别得出c＜b与a＞b，从而得出答案.【详解】构造函数，x＞－1，则，当－1＜x＜0时，，单调递增，当x＞0时，，单调递减，∴，∴（当x＝0时等号成立），∴，则c＜b，构造函数，0＜x＜1，则， 令，0＜x＜1，∴，单调递增，∴，∴，单调递增，从而，∴，即，则a＞b．∴c＜b＜a．故选：A．二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标运算求得的值，即可得向量，从而可求.【详解】解：由，得，解得，则，可得.故答案为：.14.已知x，y满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义数形结合即可得解；【详解】解：约束条件所表示的可行域，如图所示：由，解得，即，由，则，平移直线，显然当直线过点时，在轴的截距最大，所以 故答案为：15.对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，从而得，即，由累乘法即可求得的值.【详解】解：由数列的二阶商数列的各项均为，可知，而，故数列是以1为首项，为公比等比数列，即， 即，即．所以，故．故答案为：16.如图，在正四棱台中，，分别是正方形，的中心.若以为球心，为半径的球与平面相切，且是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为______.【答案】【解析】【分析】设出，，，结合题干条件得到，，从而求出四棱台的体积和外接球的体积，得到比值.【详解】设，，，因为以为球心，为半径的球与平面相切，所以，因为是该四棱台的外接球球心，所以，即， 所以四棱台的体积，且外接球体积，则.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且的外接圆的半径为．（1）证明：；（2）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边可证；（2）先求得，再根据计算面积．【小问1详解】证明：∵外接圆半径为，且，∴，由正弦定理得，；【小问2详解】解：，由正弦定理得 ，由（1）可知，，由余弦定理知，，解得，所以．18.已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据与的关系可得，结合条件即得；（2）根据等比数列的求和公式即得.【小问1详解】∵，∴当时，，∴，∴，故等比数列的公比q＝3，令n＝1，得， ∴，∴；【小问2详解】由题可知，∴，∵，∴.19.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）不等式的最小值为，若，为正数，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.（2）首先求得，然后利用基本不等式证得不等式成立.【详解】（1）①当时，不等式可化为，可得，又由，可得；②当时，不等式可化为，可得，又由，可得这样的不存在；③当时，不等式可化，可得，又由，可得. 由上知不等式的解集为.（2）证明：由，又由，故函数的最小值为1，可得，由上知，有（当且仅当时取等号），又有，（当且仅当时取等号），故有.【点睛】基本不等式的运用，常见的有，也即，要注意等号成立的条件.20.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面AB，且分别为中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】(1)根据中位线的性质可得，又，得，结合线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系，设，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，根据空间向量数量积的定义求出面面角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系计算即可.【小问1详解】因为分别为的中点，所以，在直角梯形中，因为，所以，又因为平面平面，所以平面；【小问2详解】由平面，平面，得，又，建立如图空间直角坐标系，设，则，，所以，设平面的法向量为，则，取，则，即，设平面的法向量为，则，取，则，即，设平面与平面所成角为，则， 所以.21.已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）设数列的通项公式为，证明：.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数，,求导，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值；（2）在第一问的基础上，得到时，，令，得，从而利用放缩法证明出不等式.【小问1详解】令，,，当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得极小值，也是最小值，∵， ∴的最小值为1；【小问2详解】证明：由（1）知时，，即，令，得，∴.【点睛】构造函数来证明不等式，常常用到构造函数，利用放缩法来进行证明，常见的构造函数有，，，，等，本题解决第二问，需要用到第一问的结论：时，，即，再令，得，再求和即可.22.已知函数．（1）求的解析式；（2）若对任意恒成立，求实数t的取值范围；（3）已知函数，其中，记在区间上的最大值为N，最小值为n，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；（2）化简不等式，并转化为，通过换元转化为求函数的最大值，即可求的取值范围； （3）首先化简函数，利用导数求函数的最大值和最小值，设，分情况讨论求函数的取值范围.【小问1详解】，即；【小问2详解】由，即令，则，设，则，故在区间上单调递增，∴，故t的取值范围为；【小问3详解】，，由可得，，由可得，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以当时，，又∵，当时，， 令，当时，，∵，当时，，综上所述，的取值范围．