陕西省西安市2022-2023学年高二理科数学上学期第二次考试试卷（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期高二第二次考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程的定义即可判断结果．【详解】方程表示椭圆的充要条件是且所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B2.命题“，有”的否定是A.有B.有C.有D.有【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，＞0，则它的否定是：∃x＞0，．故选A．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3.双曲线渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得，，即，所以双曲线的渐近线方程是，故选：D．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．4.过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意，由于为正三角形，可得在中，有，再结合椭圆的定义可得，再由椭圆离心率的公式，即可求解.【详解】根据题意，如图所示，可得为正三角形，可得在中，有， 点在椭圆上，由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中注意借助直角三角形的性质分析之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.6.已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取 得最小值，则点P的坐标为（）A.（0，0）B.（2，2）C.D.【答案】B【解析】【分析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出．【详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．故选：B．7.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则（）A.3B.9C.D.12【答案】A【解析】【分析】结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义列方程，化简求得的值.【详解】设, 依题意，整理得，即.故选：A8.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．9.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得 ，由此得出正确选项.【详解】不妨设.对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四点共面.故选：D. 【点睛】本小题主要考查空间四点共面证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用抛物线定义可得点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍，从而可得结果.【详解】解：依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x＝－1，线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，因为点到直线的距离是线段长度的2倍，所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍设A点横坐标为，是＋3＝2（＋1），解得：＝1，所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2故选B 【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.11.设椭圆两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大,则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系,考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.12.已知为双曲线右支上的一点，是该双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：设内切圆的半径为，由双曲线的定义得，，由题 意得，所以.故选B.考点：双曲线的简单性质.【思路点睛】设三角形的内切圆的半径为，运用双曲线的定义和三角形的面积公式可得，，和，化简整理可得，即可得到所求值.本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率和定义的运用，同时考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据线面平行列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：14.抛物线的焦点坐标为_____.【答案】【解析】 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.【详解】当时，整理抛物线方程得，即，由抛物线的焦点为，所求焦点坐标为.当时，同样可得.故答案为：.【点睛】方法点睛：该题主要考查抛物线的性质，解题方法如下：（1）先将抛物线方程化为标准形式；（2）根据其性质得到其焦点坐标.15.以双曲线C：的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程可确定焦点坐标及渐近线方程，利用焦点F到渐近线方程的距离为圆的半径，即可得圆的面积.【详解】解：双曲线的，则可设焦点为，渐近线方程为：，即，则到渐近线的距离为，所以圆的半径为，则圆的面积为.故答案为：. 16.已知，是椭圆:（）的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为_______.【答案】【解析】【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率.【详解】如图所示，由题意知：，直线AP的方程为，由，则代入直线AP：，整理得，所求的椭圆离心率为.故答案为： 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分）17.设抛物线的准线与直线的距离为8，求抛物线的方程．【答案】或【解析】【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，列出关系式求解即可.【详解】抛物线的准线为，由题意知，该直线与直线的距离为8，即，解得或.当时，抛物线的方程为；当时，抛物线的方程为.所以，抛物线的方程为或.18.已知命题p：表示焦点在x轴双曲线，命题q：是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】或【解析】【分析】利用双曲线方程的性质化简命题p可得，利用指数函数的性质化简命题q可得m<2，由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p、q一真一假，分两种情况讨论即可求得实数m的取值范围．【详解】若p是真，则解得，若q是真，只需5－2m>1即m<2，由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题，因此，当p真q假时，得无解； 当q真p假时，或；综上所述：或19.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆交于A，B两点，P是l上满足的点，求点P的轨迹方程．【答案】【解析】【分析】设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出A，B两点坐标的关系式，代入整理，即可得到结果.【详解】将椭圆化为标准方程得，.设动直线l方程为.联立直线与椭圆方程可得，.设，，则，.设，则，由，可得代入整理可得，.所以，点P的轨迹是椭圆的一部分，方程为20.已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为，求E的方程．【答案】【解析】【分析】利用点差法求得的方程. 【详解】由于是的焦点，所以双曲线焦点在轴上，，所以①，设双曲线的方程为，设，所以，两式相减并化简得，所以②，由①②得，所以的方程为.21.如图（1）图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，E是的中点，O是AC与BE的交点．将沿BE折起到的位置，如图（2）所示．（1）证明:平面；（2）若平面平面BCDE，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2） 【解析】【分析】（1）先证平面，又，得平面；（2）由已知得为二面角的平面角，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，面与面锐二面角为，由，即得平面与平面锐二面角的余弦值.【小问1详解】在图（1）中，因为，，是的中点，，所以则在图（2）中，，，，平面，平面，从而平面，又，所以平面．【小问2详解】由已知，平面平面，平面平面，又由（1）知，，，所以为二面角的平面角，所以．如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，，则，，所以，，，，得，，．设平面的法向量，平面的法向量，锐二面角为，则，得，取，，得，取，从而，所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．22.已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线 上异于的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解；（2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果.【小问1详解】根据题意，，则，故抛物线方程为：.【小问2详解】显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，联立抛物线方程可得：，时，设两点的坐标分别为，则，，由题可知，，即，解得，此时满足，故直线恒过轴上的定点.