陕西省渭南市临渭区2022-2023学年高二理科数学上学期期末试题（Word版附解析）

临渭区2022~2023学年度第一学期期末教学质量调研高二数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知a>b，则下列式子中一定成立的是（）A.B.|a|>|b|C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法以及的单调性即可判断选项的正误.【详解】对于A，若则，故错误；对于B，若则，故错误；对于C，若则，故错误；对于D，由在上单调增，即，故正确.故选：D2.中，若，，，则（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理直接求解.【详解】在中，若，，，由余弦定理得：.故选：B3.已知空间向量，，若，则（）A.4B.5C.D.【答案】C【解析】【分析】先由，求得的坐标，再根据模的运算公式求得.【详解】∵，∴，∴∴，，故选：C.4.不等式的解集是（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，故选：D.5.“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的（） A.充要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先判断充分条件，再判断必要条件，即得解.【详解】由p且q是真命题，则得p和q都是真命题，能得出“q或p是真命题”；所以“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的充分条件；“q或p是真命题”，得出q和p中至少有一个为真命题，但是得不出“p且q是真命题”.所以“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的不必要条件.所以“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的充分不必要条件.故选：B6.下列结论中正确的是（）A.当时，无最大值B.当时，C.当且时，D.当时，的最小值为3【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，当时，因为与都递增，所以单调递增，的最大值为，故错误；对于B，当时，，当且仅当即时，取等号，故正确；对于C，当时，，则，当且仅当时，即时，等号成立，故错误； 对于D，当时，，当且仅当时，即时，等号才成立，故错误.故选:B7.已知等比数列为递减数列，若，，则公比（）A.B.2C.D.8【答案】A【解析】【分析】由题可得，进而可得，即得.【详解】依题意，解得或，又等比数列为递减数列，∴，，即.故选：A.8.正三棱锥的侧棱两两垂直，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设侧棱AB=2,以点A为原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标，然后用向量的夹角公式计算即可得到答案.【详解】设，以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，， ，则.从而异面直线与所成角的余弦值为.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，利用空间向量求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．9.若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，因此，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.10.设是等差数列的前项和，若，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，根据题意可将都用表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故选：A.11.已知点A，抛物线C：的焦点F．射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），定点A（2，0），∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直线FA为：x+2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N（4，-1），，=. 12.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用点差法即可．【详解】由F、N两点坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）13.在等比数列中，若，，则__________．【答案】【解析】【分析】设公比为，根据题意求得，再求即可.【详解】设等比数列的公比为，由题可知，故. 故答案为：.14.设x，y满足约束条件且，则z的最小值为________．【答案】【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再数形结合分析得解.【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，由得，它表示斜率为-2，纵截距为的直线系.当直线经过点时，直线的纵截距最小.联立得所以.所以z的最小值为.故答案为：15.小华同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是___________．【答案】【解析】【详解】解析：如图， 由于，所以由正弦定理可得，应填答案．16.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．17.如图，已知，为椭圆椭圆上点使为钝角，则椭圆离心率的取值范围是________． 【答案】【解析】【分析】根据题意，由最大当且仅当P在短轴端点处，结合已知条件，利用直角三角形中的边角关系得到的大小关系，进而得到a、c的不等关系，然后得到结果.【详解】当点为短轴端点时最大，当点为短轴端点时，因为，由题意可知，只需，所以，所以所以，即，所以，又因为，所以故答案为:三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，且，求边AC上的高． 【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）先正弦定理化边为角，解得，再根据平方关系求结果；（2）由余弦定理以及，解得，再根据三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以．【小问2详解】在中，由余弦定理可得，又，所以有，即，所以面积为.所以AC边上的高为.19.设函数.（1）若不等式的解集为，求实数a，b的值；（2）若，且存在，使成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据的解集为，利用根与系数的关系求解； （2）根据，得到，再由存在，成立，分，，，利用判别式法求解.【小问1详解】解：因为的解集为，所以，解得；【小问2详解】（2）因为，所以，因为存在，成立，即存在，成立，当时，，成立；当时，函数图象开口向下，成立；当时，，即，解得或，此时，或，综上：实数a的取值范围或.20.设等差数列的前n项和为，若，；设数列的前n项和为，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），（2） 【解析】【分析】（1）设数列的首项为，公差为d，根据所选条件结合等差数列的通项公式及前项和公式得到方程组，解得、，即可求出的通项公式，由，根据，求出的通项公式；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列的首项为，公差为d，因为，，则可得，则，所以数列的通项公式为．因为，所以当时，，则．当时，，则，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以．【小问2详解】因为，所以数列的前n项和①，②，①②得 ∴，则．21.如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．连结． 因为，所以为等腰直角三角形，且，由知．由知，平面．（2）［方法一］：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，． 所以．又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．［方法二］：三垂线＋等积法由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为．［方法三］：三垂线＋线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以．由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角．设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．［方法四］：【最优解】定义法如图7，取中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得．联结，则为直线与平面所成的角．在中，， 所以．【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．22.已知椭圆过点，短轴上一个端点到右焦点的距离为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．【答案】（1）；（2），，．【解析】【分析】(1)由两点的距离公式和点满足椭圆方程，以及、、的关系，解方程可得a、，进而得到椭圆方程；(2)显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由坐标原点在以线段为直径的圆外，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围．【小问1详解】由短轴一个端点到右焦点的距离为2，可得，椭圆过点，可得，解得， ∴椭圆的方程为.【小问2详解】显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立，可得，由，得，，．坐标原点在以线段为直径的圆外，即为，即，，即，可得．又，即为，解得，，．