陕西省渭南市三贤中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版含解析）

试卷类型：A（北师大版）2022~2023学年度第一学期期中教学检测高二数学（必修5）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列的前n项和，则（）A.1B.3C.5D.7【答案】D【解析】【分析】根据数列的前项和公式，直接可以得出，进而得出结果.【详解】因为等差数列的前n项和，所以，故选：D.2.不等式的解集是（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式可转化为，即，即，所以不等式等价于解得：，所以原不等式的解集是 故选：B3.的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到，即可得到答案【详解】由正弦定理可知，设，所以，所以，所以的形状是直角三角形，故选：B4.函数的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求解即可【详解】因为，所以，当且仅当即时，取等号，故函数的最小值为4，故选：C5.已知，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】为正数，为负数，所以，，，所以.故选：C6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过作差法，判断与0的大小关系即可得到答案【详解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故选：B7.一艘海轮从A地出发，沿北偏东75°的方向航行80海里后到达海岛B，然后从B地出发，沿北偏东15°的方向航行40海里后到达海岛C．如果下次航行直接从A地出发到达C地，那么这艘船需要航行的距离是（）A.40海里B.40海里C.40海里D.40海里【答案】D【解析】【分析】根据已知求出角B，然后由余弦定理直接可得.【详解】如图，由题意AB＝80海里，海里，，所以11200，得海里．故选：D 8.图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，，已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】B【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项【详解】设，则，依题意，有，且， 所以，故，故选：B9.已知实数x，y满足，则的最小值为（）A.B.C.2D.7【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，然后根据的几何意义求最值即可.【详解】由不等式组可得可行域如下：由可得，表示直线经过可行域上的点时的纵截距，所以当直线过点时，最小，联立，解得，所以，将代入可得.故选：A.10.不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由题意列不等式组求解【详解】当即时，恒成立，满足题意，当时，由题意得，解得，综上，的取值范围是，故选：B11.在数列中，设其前n项和为，若，，，则等于（）A.25B.20C.15D.10【答案】B【解析】【分析】根据递推公式的特点，可得奇数项和偶数项的特点，根据分组求和即可求解．【详解】由可知：当为奇数时，，当为偶数时，，所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2故故选：B12.对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为（）A.2B.7C.2，7D.2，5，7【答案】C【解析】【分析】先求出，，，，，，，，再得到，，，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解． 【详解】因为，所以，，，，，，，，当，，，所以，因为函数在上单调递增，所以时，数列为单调递增数列，所以，，，，所以数列的“谷值点”为，．故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在中，，，，则__________．【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理解三角形即可.【详解】由正弦定理得，所以，又，所以.故答案为：.14.已知等比数列的前n项和为，且，，则__________．【答案】62【解析】【分析】利用等比数列的通项关系先求公比，再利用前n项和公式求解即可 【详解】在等比数列中，公比为，则，解得：，所以.故答案为：6215.已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则__________．【答案】【解析】分析】首先根据等比中项求出和，再求出公比，再利用等比数列通项即可求.【详解】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，.又，，而.故答案为：16.设，，给出下列不等式：①；②③；④．其中所有恒成立的不等式序号是__________．【答案】①②③【解析】分析】利用作差法以及基本不等式，结合不等式性质，可得答案. 【详解】对于①，，故①正确；对于②，，当且仅当时等号成立，且，当且仅当时等号成立，则，故②正确；对于③，，当且仅当，即时等号成立，故③正确；对于④，，当且仅当成立，则，故④不正确.故答案为：①②③.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）设为的前项和，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.（2）根据前项和公式求解即可【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得. 故.【小问2详解】由等差数列的前项和公式可得.因为，所以，即，解得（舍去）.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若，的面积为，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先利用正弦定理将化角为边，再根据余弦定理即可求解；(2)先利用面积公式求出的值，再利用余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，由正弦定理，可得，也即，由余弦定理，得，又因为,所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以， 由余弦定理可知：，所以.19.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．【答案】（1）菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小（2）．【解析】【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．【小问1详解】由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得x+2y＝30， 又∵（）•（x+2y）＝55+29，∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴的最小值是．20.在中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求角；（2）若，为中点，，求的长度.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理将边化角即可计算结果；（2）由和差公式求得，结合正弦定理即可求得，最后用余弦定理即可求得．【详解】解：（1）.∴.∴，由正弦定理可得：，∴，∴，∴，解得；（2），∴∵，由正弦定理可得： 在中，由余弦定理可得：，解得．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．21.已知不等式解集为．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式．【答案】（1）;（2）答案见解析【解析】【分析】（1）据题意可知，和是的两个根，利用韦达定理可求出的值；（2）将（1）解出的代入不等式，再分类讨论解不等式【小问1详解】的解集为，和是的两个根，根据根与系数的关系可知：，；【小问2详解】由（1）可知，即,,①当即时，，此时解集为且；②当即时，此时解集为或；③当即时，此时解集为或； 综上：当时，解集为且；当时，解集为或；当时，解集为或22.已知数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记的前n项和为．若对任意且恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件构造新的等比数列，先将条件转化成与的关系式，再利用等比数列定义，即可求得通项.（2）根据第一问及条件得到，再利用错位相减法求出的前项和，最后根据的范围，解出的不等式，即可求解.【小问1详解】由可得，，两式相减，得，则.又由，得，即，又，，则也满足数列是以为首项，为公比的等比数列，【小问2详解】 由（1）可知，，由，得则①，②，由①②得，由，得恒成立，即，当时，.设且当时，，综上所述：实数的最小值为.