四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高二数学（理）下学期开学考试试题（Word版附解析）

叙州区二中2022-2023学年高二下期开学考试理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有9名女职工，则样本的容量为（）A.44B.40C.36D.没法确定【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．【详解】解：设样本容量为，则由题意得，解得，故选：．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题．2.已知命题，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可找到命题的否定.【详解】命题的否定为：，.故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，特称命题的否定是全称命题是解题的关键，属于简单题.3.准线方程为的抛物线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】由于抛物线的准线方程是，所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为，则，所以抛物线的标准方程为.故选：B4.已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，然后数形结合即得.【详解】画出可行域如图所示，由图可知，当直线经过时，取得最大值，由，可得，即，所以的最大值为. 故选：C.5.辗转相除法又叫欧几里得算法，其算法的程序框图如图所示.执行该程序框图，若输入的，，则输出的的值为（）A.2B.6C.12D.24【答案】C【解析】【分析】根据程序框图得到：输出的为和的最大公约数，代入选项即可求出答案.【详解】由程序框图知：输出的为和的最大公约数，当时，并不是和的公约数，故舍去.当时，是和的公约数，故和的最大公约数为.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图，弄清程序框图表示的意义为解题的关键，属于简单题.6.直线被圆所截得的弦长为（）A.B.4C.D. 【答案】A【解析】【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为.故选：A.7.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式直接求解．【详解】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，记事件两人下成和棋，事件乙获胜，事件甲获胜，则事件和事件为互斥事件，且事件与事件互为对立事件，所以，甲获胜的概率为.故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率的计算，考查运算求解能力，是基础题．8.已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（）A.8B.C.D.与有关 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆：可求得a，由椭圆的定义可得，，并且，进而即可求得的周长．【详解】由椭圆：，则，即，又椭圆的定义可得，，且，所以的周长为．故选：C．9.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（）A.相离B.相交C.外切D.内切【答案】C【解析】【分析】计算圆心距，和比较大小，即可判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径，,所以圆心距，所以两圆相外切.故选：C10.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】B【解析】 【详解】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．11.已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】抛物线的焦点F,准线方程为，圆的圆心为，半径为1，，，由抛物线定义知：点P到直线的距离d= ∴的最小值即到准线距离：∴的最小值为故选B12.已知双曲线C与双曲线有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为，则双曲线C的标准方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】比较焦点坐标，再比较渐近线方程可得．【详解】已知双曲线的半焦距为，A中，B中，C中，D中，只有D的焦点与已知双曲线相同，D中双曲线的渐近线方程也为，满足题意．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若不等式与关于x不等式＜0的解集相同，则＝_____【答案】【解析】【分析】先解绝对值不等式，利用韦达定理列出等式，化简求得的值.【详解】由有，由于绝对值不等式的解集和的解集相同，故，是一元二次方程的两个 根，由韦达定理得，两式相除得.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式和一元二次方程根与系数关系，属于基础题.14.空间四点满足，，，，则_______．【答案】0【解析】【分析】由代入，再由代入进一步化简整理即可.【详解】因为.故答案为0【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型.15.已知一圆锥底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为______.【答案】【解析】【分析】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，根据题意画出图形，结合图形求出与的关系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值．【详解】解：设圆锥底面圆半径为，球的半径为， 由题意知，圆锥轴截面是边长为的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以，，，所以球与圆锥的表面积之比为．故答案为：【点睛】本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题，属于基础题．16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】设，根据，求出点，再由可得 ，代入椭圆方程可得，使方程在上有解，利用零点存在性定理即可求解.【详解】设，，则，，，，，，，，，，又，，，存在，存在，，显然恒成立，又，在上有解，令，对称轴，且不在上，，，解得，即 故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率，解题的关键是根据，将问题转化为在上有解，考查了计算能力.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．判断命题p的否定的真假；若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）为假；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，所以【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18.某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下（单位：分）：，；，；，；，；，；，．成绩分组频数频率频率/组距 合计（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计本次考试成绩的中位数（精确到）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意能列出频率分布表；（2）由频率分布表能画出频率分布直方图；（3）由频率分布直方图得：的频率为，的频率为，由此能估计本次考试成绩的中位数．【详解】（1）由题意列出频率分布表如下： 成绩分组频数频率频率/组距合计（2）画出频率分布直方图，如下：（3）由频率分布直方图得：的频率为，的频率为，估计本次考试成绩的中位数为．【点睛】本题考查频率分布表、频率分布直方图、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. （1）求证：平面；（2）若侧面底面，且，；①求与平面所成的角；②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②存在点，【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论；（2）①以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；②设，则向量，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果．【小问1详解】取线段的中点，连接，在中，分别为的中点.，且又底面是菱形，且为的中点，，且，，且 四边形为平行四边形，又平面平面平面；【小问2详解】①在平面内过点作，由平面底面得平面，菱形中，则，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，所以，设直线与平面所成的平面角为，且，则，故直线与平面所成的角为 ②设即化简得，故（舍负）综上，存在点，20.甲乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元.（1）将全程匀速匀速成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【答案】(1)，定义域为.(2)当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.【解析】【详解】试题分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输 成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得结论．试题解析：（1）可变成本为，固定成本为元，所用时间为，所以，即，定义域为.（2），当且仅当，即时，等号成立，所以当时，，答：当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.21.已知抛物线C：过点求抛物线C的方程；设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．【详解】（1）因为抛物线：过点，所以，解得，所以抛物线的方程为．（2）由抛物线方程可知，直线与轴交于点，联立直线与抛物线方程，消去可得，所以，所以，所以的面积为． 【点睛】直线与抛物线的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去（或）得到关于（或）的方程，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题．22.已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的标准方程.（2）当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，求此时的弦长.（3）设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由题意列出方程组解出即可；（2）根据的坐标，计算直线的方程，联立椭圆方程，解出,利用两点间的距离公式计算即可.（3）根据题意直线的斜率存在且不为0，设直线方程，联立解出点，根据对称性得出点，在联立直线与椭圆方程，解出点，然后求出直线方程，令，得，从而得到，由图可知：与的面积之差为，利用三角形面积公式写出，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率.【小问1详解】 由椭圆的离心率为，所以，①又，②设过左焦点且垂直于轴的直线为：，代入中，结合②化简得：，所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：，③联立①②③解得：，所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】由（1）知所以直线方程为：，即，代入中消去得：，解得：或，当时，为点，当时，，所以,所以. 【小问3详解】由（1）知，如图所示：连接，因为直线过点，且与轴垂直，所以直线方程为：，由题意得直线的斜率存在且不为0，设直线方程为：，联立得：点，又为直线上关于轴对称的两点，所以，联立，消去整理得：，解得：或，由点异于点，所以将代入中得：，即所以直线的方程为： ，令，，所以，由图可知：与的面积之差为：，因为，当且仅当时取等号，所以当与的面积之差取得最大值时，直线的方程为：，即：或.