四川省宜宾市叙州区第一中学2022-2023学年高三数学（文）上学期期末考试试题（Word版附解析）

四川省叙州区一中高2023届高三上期末考试文科数学本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡一并交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合补集的定义即可求解.【详解】解：因为，，所以，故选：C.2.i为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方和除法运算即可求解. 【详解】解：，故选：B.3.如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（）A.甲家庭用电量的中位数为33B.乙家庭用电量的极差为46C.甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D.甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值【答案】C【解析】【分析】根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.【详解】对于A，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为32，A不正确；对于B，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差56-11=45，B不正确；对于C，甲家庭用电量的平均数，乙家庭用电量的平均数，甲家庭用电量的方差，乙家庭用电量的方差，显然，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；对于D，由C选项的计算知，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值， D不正确.故选：C4.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得的值.【详解】.故选：C.5.新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，其中指数增长率，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（）（）A.4天B.6天C.8天D.10天【答案】B【解析】【分析】设所需时间为，可得，解出即可.【详解】设所需时间为，则，则，，.故选：B. 6.已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；②当时，由，即，所以或，满足题意；故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；故选：D7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A.乙可以知道其他两人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D 【解析】【分析】根据所给信息进行推理．【详解】甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选：D．8.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.9.已知圆C的方程为，点P在直线上，线段AB为圆C的直径，则的最小值为（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】 【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的最小值.【详解】因为为的中点，所以，从而，可知的最小值为点到直线的距离，，所以.故选：B.10.在中，，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，求出，，即得解.【详解】解：设，则，，所以，故，因此，所以双曲线的离心率. 故选：D.11.已知球是直三棱柱的外接球，若，，则球的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三棱柱中各棱的数量关系知其底面为直角三角形，将其补全为长方体，根据长方体与外接球直径的关系即可求半径，进而求球的体积；【详解】由，，可得△为直角三角形，由题意，所在的长方体中，过同一顶点的三条棱的长分别为：1，1，，设外接球的半径为，则，所以，所以球的体积，故选：A．【点睛】本题考查了棱柱的外接球问题，根据三棱柱棱长的数量关系确定底面三角形形状，结合其所在长方体与外接球直径关系求球体的半径，应用球体的体积公式求体积；12.已知函数，若存在，使，则实数取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，得，变形后得，构造函数，由导数可得在上单调递增，在上单调递减，，，从而得，即，构造函数，再利用求出其最小值，进而可求出实数的取值范围【详解】解：由，得，即 ，所以，所以，即，令，则（），当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，，则只需即可，即，所以，因为，所以，令，则，当，则，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，得，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查不等式能成立问题，解题的关键是由，得，构造函数，由导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而将问题转化为，即，再利用导数求出的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若则的最小值是___________.【答案】【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图所示：作出直线经过时，取得最小值3.故答案为：314.已知等比数列的前项和为，且，，则_________.【答案】64【解析】【分析】根据等比数列前项和公式列出方程组，解出首项公比，根据通项公式求出.【详解】设等比数列公比为，首项为，由已知，可得，解得，所以，故答案为：64.15.若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】 【解析】【分析】利用复合函数单调性的原则进行计算即可.【详解】由函数在区间上是单调增函数，只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．故答案为：16.若指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】依题意方程有两个不同的解，两边取对数可得，从而可转化为与在图象上有两个不同的交点，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最值，从而得到，即可求出参数的取值范围；【详解】解：指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，等价于方程有两个不同的解．对方程两边同时取对数，得，即．因为，所以，从而可转化为与在图象上有两个不同的交点，．当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取到极大值，也是最大值，且最大值为．又因为当时，；当时，，所以．解得 ，即．故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人．为了了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．（1）求a值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计 参考公式：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析（2）填表见解析；有【解析】【分析】（1）由频率和为1可得a值,由直方图中众数、平均数和中位数的计算公式进行计算即可；（2）由题意得到2×2列联表，然后计算的观测值，然后与题目中表格的数据进行比较即可得到结论.【小问1详解】，解得．众数估计值为600分．平均数估计值为（分）分数分布在450~650分之间时，频率为，故中位数估计值为650分．【小问2详解】由题意可知，样本中男生有40人，女生有60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人．因此，得到2×2列联表如下：属于高分选手不属于高分选手合计男生152540女生105060合计2575100 因此，的观测值，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．18.锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C值；（2）若，D为AB的中点，求中线CD的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解【小问1详解】由，，，，，．【小问2详解】，，，由余弦定理有：，，所以，， 由正弦定理，，，，，，因为为锐角三角形，所以且，则，,则，．19.如图，在三棱柱中，，，.（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】 【分析】（1）取的中点，连，，证明与底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得证结论；（2）由棱柱、棱锥体积得，计算三棱锥体积可得结论．【详解】（1）如图，取的中点，连，，因为，，所以，，又因为，所以，在中，由，满足，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，，所以四棱锥的体积.20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．（1）求椭圆的方程；（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较 与的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知设椭圆的方程为，由已知分析得，解得，即得椭圆的方程为.（2）先证明直线的斜率为0或不存在时，.再证明若的斜率存在且不为0时，.【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，.在轴上方使成立的点只有一个，∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.当点是短轴的端点时，由已知得，解得.∴椭圆的方程为.（2）若直线的斜率为0或不存在时，且或且.由， 得.若的斜率存在且不为0时，设：，由得，设，，则，，于是.同理可得.∴.∴.综上.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．（2）求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为有两个不同的根，构造函数转化为函数与轴的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】（1）函数导数当时，即在点（1，）处的切线斜率，则对应的切线方程为即．（2）当时，若存在两个极值点，则有两个不同的解，即有两个根，即有两个不同根，设当时，所以在上单调递增，不符合题意．当时，所以在上单调递减，在上单调递增要使函数与轴有两个不同的交点，必须，得设，则， 即在（1，+∞）上为减函数，存在使得.即当时，此时有最小正整数，使得函数与轴有两个不同的交点.即当时，是存在两个极值点，此时最小的的整数值为4【点睛】本题利用数形结合思想和函数与方程思想，先将函数的零点问题转化为函数的图像的交点问题，利用数形结合思想，通过直函数图像与轴的交点个数来确定参数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于点（不同于极点），与直线交于点，求的最大值．【答案】（1），直线：；（2）．【解析】【分析】（1）曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程，由，，能求出曲线的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程． （2）设，，，，则，由此能求出的最大值．【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得曲线的普通方程为，即，由，，得曲线的极坐标方程为，即．因为直线的极坐标方程为，所以，所以，所以（2）设，，，，则，所以，由，得，所以，所以的最大值为．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式可轻松自如进行极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于中档题．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）时利用分段函数表示，再求不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，再将不等式转化为化为，即可求得的取值范围．【详解】（1）当时，，即=，不等式即为或或，即有或或，则为或，所以不等式的解集为{或}；（2）若恒成立，则即或解得：或∴实数的取值范围是.【点睛】（1）在解时，常用零点分段法将绝对值函数转化成分段函数的形式来求解；（2）在解决型的不等式恒成立问题时，可利用绝对值三角不等式 对不等式进行化简．