四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高三数学（理）上学期期末考试试题（Word版附解析）

四川省叙州区二中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡一并交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算直接可得.【详解】解：依题意，，所以，故故选：A．2.若复数满足（其中为虚数单位），则A.1B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算，化简复数得，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数满足，则，则，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数模的计算，其中解答熟记复数的除法运算的公式，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.若是钝角且，则（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式先求出的值，再由商的关系可得答案.【详解】因为是钝角，所以．所以，所以．故选：C4.若等差数列和等比数列满足，，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得公差和公比，即可根据已知条件求得，则问题得解.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查等差数列和等比数列基本量的计算，属综合简单题.5.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数不成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；成立，跳出循环，输出i的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.6.已知随机变量服从正态分布，，（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.【详解】，所以，.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.7.函数图象大致为（）AB.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和确定正确选项.【详解】由知，的图象不关于y轴对称，排除选项A，C．，排除选项D．故选：B8.已知将函数的图象向左平移个单位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：，因为是偶函数，所以，即，又，所以，解得，所以，故；所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.9.曲线与直线围成的平面图形的面积为A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.10.已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】 【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设，，则的中点坐标为，由题意可得，，将，的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得，所以，又因为离心率，，所以，所以，即直线的斜率为，故选：A.11.在中，，，，若向量满足，则的最大值与最小值的和为（）A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】【分析】由题意可得角为直角，所以以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，设的终点坐标为，然后由可得，从而可得的最大值与最小值分别为圆上的点到原点距离的最大值和最小值，进而可求得答案.【详解】由，，得，即为直角， 所以以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，则，，，设的终点坐标为，∵，∴，故的最大值与最小值分别为圆上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为，即之和为10，故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查了坐标法在向量中的应用，向量的几何意义，建立适当的坐标系可将题意转化为圆上的动点到圆外一定点距离的最大值和最小值，最大值为点到圆心的距离加上半径，最小值为点到圆心的距离减去半径.12.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取AB的中点M，则∠CPM为所求线面角，利用勾股定理求出PM，CM即可得出答案． 【详解】解：设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作OD⊥PA，则D为PA的中点，∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成角．∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴OD＝AE，∵，∴OP，∴PA＝2PD＝2．∴PM．∴tan∠CPM．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数满足，则的最大值是______． 【答案】【解析】【详解】不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为，的几何意义是点与连线的斜率，由于的斜率为，的斜率为.所以的取值范围是.即答案为．【点睛】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义．14.的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理计算.【详解】由二项式定理展开式的通项公式可知，的展开式中含有的项为，则的系数为.故答案为：－140. 15.在直三棱柱中，,,则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】先由题意可得两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，根据向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】因为，所以角为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则.故答案为【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角，空间向量法求异面直线所成角，是一种常用的方法，属于常考题型.16.若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．【答案】[-6，1）【解析】【分析】根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】由题意得：，解得：-6≤a＜1，故答案为[-6，1）．【点睛】本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到），预测当宣传费用为万元时的利润，附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为 ，，相关系数参考数据：，，，【答案】（1）见解析.（2）万元.【解析】【详解】（1）由题意计算，，利用公式计算相关系数r，由此说明x与y之间存在相关关系；（2）求出回归系数，写出回归方程，利用回归方程求出x=20时的值．（1）由题意得，又，，，所以所以，与之间具有线性相关关系.（2）因为，，（或，）所以关于的线性回归方程为.当时，故可预测当宣传费用为万元时的利润为万元.18.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 .（1）求A；（2）从下列条件中：①；②中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）选择①，；选择②，.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长，然后根据角度范围可得结果；选②可得，然后结合余弦定理以及不等式可得结果.【详解】（1）因为由正弦定理得，即由余弦定理得所以（2）选择①由正弦定理，即周长即周长的取值范围选择②.，得，得.由余弦定理得 即周长，当且仅当时等号成立即周长的取值范围【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.19.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，且平面.（1）证明：为中点；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）锐二面角的余弦值为.【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）取的中点，连接，利用，证得四边形为平行四边形，则，所以为的中点；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，利用两个面的法向量求解即可.试题解析： （1）证明：取的中点，连接，因为，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，则，可得，，设是平面的法向量，则.令，得.易得平面的一个法向量为，所以.故所求锐二面角的余弦值为.20.如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4. （1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】【详解】①②②代入①得考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.21.已知函数，．（1）讨论函数的单调性； （2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析，（2）或.【解析】【分析】（1）由题意可得，然后分和讨论求函数的单调区间，（2）不等式恒成立，则分，同时恒成立；，同时恒成立；三种情况讨论求解.【小问1详解】（1）.①若时，，则在上是增函数.②若时，令，则，解得或（舍去），当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数.综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.【小问2详解】若在定义域内恒成立,考虑以下情形:①当，同时恒成立时，由，恒成立. 令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以所以.因为由，恒成立得：.所以②当，同时恒成立时，即，且，因为，所以这样的不存在；③当时，因为为增函数，为减函数,若它们有共同零点，则恒成立.由，,联立方程组解得：.综上：或.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将在定义域内恒成立，转化为，同时恒成立；，同时恒成立和讨论求解即可，考查数学转化思想和分类思想，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与直线交于点，直线与曲线交于点，且，求实数的值．【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（1）消去参数可把参数方程化为普通方程，由公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）用极坐标法求出的极坐标，，再利用直角三角形性质可求得．【小问1详解】由（为参数）得，∴直线的极坐标方程为．由得，，，∴曲线的直角坐标方程为．【小问2详解】直线的极坐标方程为，将代入直线的极坐标方程得，∴点的极坐标为将代入曲线的极坐标方程得，．，且为线段的中点， ，即，．选修4-5：不等式选讲23.已知函数（）（1）当时，求不等式成立的的集合；（2）设，证明.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）把的值代入不等式化简后，对分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（2）由（1）知，化简后利用绝对值三角不等式证明结论成立.【小问1详解】当时，原不等式化为：①，当时，①式化为：恒成立,即，当时，①式化为恒成立，解得，即；当时，①式化为无解，综上，原不等式的解集【小问2详解】因为，所以又，所以， 所以