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四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高二数学(理)上学期期中考试试卷(Word版带解析)
四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高二数学(理)上学期期中考试试卷(Word版带解析)
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叙州区二中2022-2023学年高二上期中考试理科数学考试时间:120分钟满分:150分第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式的解集是()A.B.CD.【答案】C【解析】分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解:解得:.故选:C.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解:因为,所以,,,或,当时,或一定成立,所以“”是“”的充分条件;当或时,不一定成立,所以“”是“”的不必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A3.执行如图所示的程序框图,若输入t的取值范围为,则输出s的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由程序图可得,,再分段求解函数的值域,即可求解.【详解】由程序图可得,当时,,,当时,,,综上所述,的取值范围为,.故选:A.4.点关于直线的对称点的坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点,利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为,则,解得.所以点的坐标为故选:A.5.若点在圆的外部,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由于点在圆的外部,所以,从而可求出的取值范围【详解】解:由题意得,解得,故选:C.6.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平移直线至,将直线与所成的角转化为与所成的角,解三角形即可. 【详解】如图,连接,因为∥,所以或其补角为直线与所成的角,因为平面,所以,又,,所以平面,所以,设正方体棱长为2,则,,所以.故选:D7.已知,,且,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式可得,根据,利用基本不等式可求得结果.【详解】由,,得:,(当且仅当,即,时取等号),的最小值为.故选:C.8.直线被圆所截得的弦长为() A.B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知,根据题中给出的圆的方程,写出圆心坐标与半径,然后求解圆心到直线的距离,最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知,圆,圆心坐标为,半径为,所以点到直线的距离为,所以,直线被圆截得的弦长为.故选:A.9.已知命题关于的方程没有实根;命题,.若和都是假命题,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算出当命题为真命题时实数的取值范围,以及当命题为真命题时实数的取值范围,由题意可知真假,进而可求得实数的取值范围.【详解】若命题为真命题,则,解得;若命题为真命题,,,则.由于和都是假命题,则真假,所以,可得.因此,实数的取值范围是.故选:D.【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数,考查计算能力,属于中等题.10.关于的不等式的解集中恰有个整数,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分类讨论一元二次不等式的解,根据解集中只有一个整数,即可求解.【详解】由得,若,则不等式无解.若,则不等式的解为,此时要使不等式的解集中恰有个整数解,则此时个整数解为,则.若,则不等式的解为,此时要使不等式的解集中恰有个整数解,则此时个整数解为,则.综上,满足条件的的取值范围是故选:C.11.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且,则三棱锥的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得为等腰直角三角形,得出外接圆的半径,则可求得到平面的距离,进而求得体积.【详解】,为等腰直角三角形,,则外接圆的半径为,又球的半径为1,设到平面的距离为,则,所以.故选:A.【点睛】关键点睛:本题考查球内几何体问题,解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E: 的左、右焦点分别为,,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,,则E的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义,用表示,再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意,直线都过点,如图,有,,设,则,显然有,,,因此,,在,,即,解得,即,令双曲线半焦距为c,在中,,即 ,解得,所以E的离心率为.故选:B【点睛】方法点睛:求双曲线离心率的三种方法:①定义法,通过已知条件列出方程组,求得得值,根据离心率的定义求解离心率;②齐次式法,由已知条件得出关于的二元齐次方程,然后转化为关于的一元二次方程求解;③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.第II卷非选择题(90分)二、填空题(5分每题,共20分)13.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取___________件.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样的方法,即可求解.【详解】由题意,甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件,用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为:.14.若直线:与直线:平行,则直线与之间的距离为______.【答案】【解析】【分析】先根据直线与平行求出参数,再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线与平行,∴,解得,∴直线:,直线:, ∴直线与之间的距离.故答案为:15.已知实数满足,则目标函数的最大值为______.【答案】-4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,结合图形找出最优解,从而求出目标函数的最大值.【详解】作出不等式组对应的平面区域,如阴影部分所示;平移直线,由图像可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大.,解得,即,所以的最大值为-4.故答案为-4.【点睛】本题考查了简单的线性规划,也考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.16.已知过点作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,直线AB经 过抛物线C的焦点F,则___________.【答案】【解析】【分析】设出点的坐标,与抛物线方程联立,结合题意和韦达定理,求得抛物线的方程为,直线AB的方程为,进而求得的值.【详解】设,在抛物线,过切点A与抛物线相切的直线的斜率为,则以为切点的切线方程为,联立方程组,整理得,则,整理得,所以,解得,所以以为切点的切线方程为,即,同理,设,在抛物线,过切点B与抛物线相切的直线,又因为在切线和,所以,所以直线AB的方程为,又直线AB过抛物线的焦点,所以令,可得,即,所以抛物线的方程为,直线AB的方程为,联立方程组,整理得或,所以,所以.故答案为:. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答17.已知点,直线,直线.(1)求点A关于直线的对称点B的坐标;(2)求直线关于直线的对称直线方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设点,则由题意可得,解方程组求出,从而可得点B的坐标,(2)先求出两直线的交点坐标,再在直线上任取一点,求出其关于直线的对称点,从而可求出直线关于直线的对称直线方程【小问1详解】设点,则由题意可得,解得,所以点B的坐标为,【小问2详解】由,得,所以两直线交于点,在直线上取一点,设其关于直线的对称点为,则,解得,即,所以, 所以直线为,即,所以直线关于直线的对称直线方程为18.已知圆C:.(1)若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为,求直线l的方程;(2)若P是直线:上的动点,PA,PB是圆C的两条切线,A,B是切点,求四边形PACB面积的最小值.【答案】(1)或.(2)8【解析】【分析】(1)先判断当斜率不存在时,不满足条件;再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k,即可求出直线方程;(2)过P作圆C的两条切线,切点分别为A、B,连结CA、CB,得到.判断出当时,最小,四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出,,即可求出四边形PACB面积的最小值.【小问1详解】圆C:化为标准方程为:,所以圆心为,半径为r=4.(1)当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件;(2)当斜率存在时,设即.圆心C到直线l距离,解得:或k=0,所以直线方程为或.【小问2详解】过P作圆C的两条切线,切点分别为A、B,连结CA、CB,则.因为,所以所以.所以当时,最小,四边形PACB面积取得最小值. 所以,所以,即四边形PACB面积的最小值为8.19.如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.(1)证明:;(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直,然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可;(2)方法二:利用几何关系找到二面角的平面角,然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】(1)因为,O是中点,所以,因为平面,平面平面, 且平面平面,所以平面.因为平面,所以.(2)[方法一]:通性通法—坐标法如图所示,以O为坐标原点,为轴,为y轴,垂直且过O的直线为x轴,建立空间直角坐标系,则,设,所以,设为平面的法向量,则由可求得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,所以,解得.又点C到平面的距离为,所以,所以三棱锥的体积为.[方法二]【最优解】:作出二面角的平面角如图所示,作,垂足为点G.作,垂足为点F,连结,则. 因为平面,所以平面,为二面角的平面角.因为,所以.由已知得,故.又,所以.因为,.[方法三]:三面角公式考虑三面角,记为,为,,记二面角为.据题意,得.对使用三面角的余弦公式,可得,化简可得.①使用三面角的正弦公式,可得,化简可得.②将①②两式平方后相加,可得,由此得,从而可得.如图可知,即有, 根据三角形相似知,点G为的三等分点,即可得,结合的正切值,可得从而可得三棱锥的体积为.【整体点评】(2)方法一:建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法,是此类题的通性通法,其好处在于将几何问题代数化,适合于复杂图形的处理;方法二:找到二面角的平面角是立体几何的基本功,在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识,该法为本题的最优解.方法三:三面角公式是一个优美的公式,在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.20.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线斜率的最大值.【答案】(1);(2)最大值为.【解析】【分析】(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解;(2)设,由平面向量的知识可得,进而可得,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】(1)抛物线的焦点,准线方程为,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为,所以该抛物线的方程为;(2)[方法一]:轨迹方程+基本不等式法设,则,所以,由在抛物线上可得,即, 据此整理可得点的轨迹方程为,所以直线的斜率,当时,;当时,,当时,因为,此时,当且仅当,即时,等号成立;当时,;综上,直线斜率的最大值为.[方法二]:【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为.设直线的方程为,则当直线与抛物线相切时,其斜率k取到最值.联立得,其判别式,解得,所以直线斜率的最大值为.[方法三]:轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为.设直线的斜率为k,则.令,则的对称轴为,所以.故直线斜率的最大值为. [方法四]:参数+基本不等式法由题可设.因为,所以.于是,所以则直线的斜率为.当且仅当,即时等号成立,所以直线斜率的最大值为.【整体点评】方法一根据向量关系,利用代点法求得Q的轨迹方程,得到直线OQ的斜率关于的表达式,然后利用分类讨论,结合基本不等式求得最大值;方法二同方法一得到点Q的轨迹方程,然后利用数形结合法,利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值,为最优解;方法三同方法一求得Q的轨迹方程,得到直线的斜率k的平方关于的表达式,利用换元方法转化为二次函数求得最大值,进而得到直线斜率的最大值;方法四利用参数法,由题可设,求得x,y关于的参数表达式,得到直线的斜率关于的表达式,结合使用基本不等式,求得直线斜率的最大值.21.已知双曲线C:的离心率为,过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为.(1)求双曲线C的方程;(2)直线()与该双曲线C交于不同的两点A,B,且A,B两点都在以点为圆心的同一圆上,求m的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)利用双曲线的离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组,进而求出双曲线的标准方程;(2)联立直线和双曲线的方程,得到关于 的一元二次方程,利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系,利用A,B两点都在以点为圆心的同一圆上得到,再利用向量的数量积为0得到、的关系,进而消去得到的不等式进行求解.【小问1详解】解:因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为,所以点在双曲线上,由题意,得,解得,,,即双曲线的标准方程为.【小问2详解】解:联立,得,因为直线与该双曲线C交于不同的两点,所以且,即且,设,,中点,则,,因为A,B两点都在以点为圆心的同一圆上,所以,即,因为,,所以,即, 将代入,得,解得或,即m的取值范围为或.22.已知椭圆:的左、右焦点分别为,离心率,为椭圆上的任意一点(不含长轴端点),且面积的最大值为1.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆交于不同的两点,且线段的中点不在圆内,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析:(1)要求椭圆方程,一般要找到两个关于的方程,题中离心率是一个,即,面积最大时P点是椭圆短轴端点,因此有,这样可解出得椭圆方程;(2)把直线方程与椭圆方程联立方程组,消元后为一元二次方程,设交点,利用韦达定理可得中点坐标(用表示),注意直线与椭圆相交有限制条件,由中点在圆内又得一条件,从而可解得的范围.试题解析:(Ⅰ)由题可知,又a2=b2+c2,∴,故所以椭圆的标准方程为(II)联立方程消去y整理得: 则,解得设,则,即AB的中点为又AB的中点不在圆内,所以,解得综上可知,
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发布时间:2023-02-18 15:40:02
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