湘教版选修2-2课件第4章 章末复习 导数及其应用

第四章章末复习 1．导数的概念及其计算理解函数的平均变化率，要仔细观察函数图象的变化特点：一是不同点处的函数平均变化率不同；二是在同一点处当点P0向P靠近的不同程度时的函数的变化率的变化． 2．导数的实际应用利用导数研究函数的单调性，要注意求函数单调区间的三个步骤，同时要注意函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．否则，就会出现错误．函数的极值与区间端点的取值中的最大(或最小)者即为函数的最大(或最小)值． 题型一　应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1(2013·福建)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值． 跟踪演练1已知曲线C的方程是y＝x3－3x2＋2x.(1)求曲线在x＝1处的切线方程；(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标．解(1)∵y′＝3x2－6x＋2，∴y′|x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1.∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)．∴直线l1的方程为y＝－(x－1)，即l1的方程为x＋y－1＝0. 题型二　利用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减． 跟踪演练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；(2)f(x)＝x(x－a)2.解(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)． 题型三　利用导数求函数的极值和最值1．利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 跟踪演练3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围． 解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. 题型四　导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强． 解(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小极大 题型五　定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限． 1．求函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围． 2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可． 再见