湘教版选修2-2第4章 章末检测 导数及其应用

第4章章末检测一、选择题1．(2013·广东改编)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　)A．x＋4y＋3＝0B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0D．4x－y－2＝0答案　D解析　y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D.2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为(　　)A．(－∞，－1)及(0,1)B．(－1,0)及(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)及(1，＋∞)答案　A解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为(　　)A.JB.JC.JD．2J 答案　C解析　由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝(5－x2)·cos30°dx＝(5－x2)dx＝＝×＝(J)．4.(2012·重庆改编)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值答案　C解析　使f′(x)＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x)＜0的x的取值范围为减区间．5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－)B．[－，]C．(，＋∞)D．(－，)答案　B解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.6．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)A．e2B．ln2C.D．e答案　D解析　f′(x)＝x(lnx)′＋(x)′·lnx＝1＋lnx， ∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.7．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间(1，e)内均有零点B．在区间(1，e)内均无零点C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点答案　C解析　由题意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0.8．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为(　　)A．(sinx－cosx)dxB．(sinx－cosx)dxC．(cosx－sinx)dxD．(cosx－sinx)dx答案　D解析　如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<阴影部分面积的2倍．故选D. 9．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]答案　D解析　∵f′(x)＝x2sinθ＋x·cosθ，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2＝2sin.∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2.10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数有(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　令f(x)＝2x3－6x2＋7，∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2；又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0，f(x)在(0,2)内单调递减，∴方程在(0,2)内只有一实根．二、填空题11．(2013·广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.答案　－1解析　求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1. 12．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案　a≥3解析　由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.13.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；③函数f(x)在x＝－处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．答案　①④解析　从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；当0＜x＜1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值为________．答案　－1解析　∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.所以log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2015＝log2014(x1·x2·…·x2013)＝log2014＝log2014＝－1. 三、解答题15．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.16．设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.f(0)＝b，f(a)＝－＋b,f(－1)＝－1－a＋b，f(1)＝1－a＋b.因为<a<1，所以1－a<0，故最大值为f(0)＝b＝1，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a， 所以－a＝－，所以a＝.故a＝，b＝1.17．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解　若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，即12x2－a≥0在上恒成立，∴a≤12x2在上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．∴a＝0符合题意．若f(x)在上为单调减函数，则f′(x)≤0在上恒成立，即12x2－a≤0在上恒成立，∴a≥12x2在上恒成立，∴a≥(12x2)max＝3.当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.18．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)． (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解　(1)设长为xm，则宽为m.据题意解得≤x≤16.y＝×400＋×248＋16000＝800x＋＋16000，(2)y′＝800－＝0，解得x＝18.当x∈(0,18)时，函数y为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．又∵≤x≤16，∴当x＝16时，ymin＝45000.当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元．