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第一章 导数及其应用
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新人教A版选修2-2高中数学第1章导数及其应用专题强化训练1(附解析)
新人教A版选修2-2高中数学第1章导数及其应用专题强化训练1(附解析)
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专题强化训练(一) 导数及其应用(建议用时:40分钟)一、选择题1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )A.在点x=x0处的函数值B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案] C2.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2e B.eC.2D.1C [y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′=2.]3.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( )A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19C [f′(x)=3x2-3.令f′(x)=0,即3x2-3=0,解得x=±1.当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=-1处取得极大值,f(x)极大值=3,在x=1处取得极小值,f(x)极小值=-1.而端点处的函数值f(-3)=-17,f(0)=1,比较可得f(x)的最大值为3,最小值为-17.]4.已知函数y=x-ln(1+x2),则y的极值情况是( )A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值D [∵y′=1-=≥0,且仅在有限个点上等号成立,∴函数f(x)在定义域R上为增函数,故其不存在极值.]5.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时,有( )A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)5 D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)C [∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0,∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,∴当a<x<b时f(x)-g(x)>f(a)-g(a),∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).]二、填空题6.若函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则ab=________.-3 [由题意可知即∴a=1,b=-3,即ab=-3.]7.函数y=x3-ax2+x-2a在R上不是单调函数,则a的取值范围是________.(-∞,-1)∪(1,+∞) [y′=x2-2ax+1有两个不相等零点,得Δ=(-2a)2-4>0,得a2>1,解得a<-1或a>1.]8.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b=________.ln2-1 [设切点坐标为(x0,y0),则y0=lnx0.∵y′=(lnx)′=,∴y′|=,由题意知=,∴x0=2,y0=ln2.由ln2=×2+b,得b=ln2-1.]三、解答题9.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是:p=(x∈N*).(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数;(2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?[解] (1)因为次品率p=,所以当每天生产x件时,有x·件次品,有x件正品.所以T=200x·-100x·5 =25·(x∈N*).(2)T′=-25·,由T′=0,得x=16或x=-32(舍去).当0<x<16时,T′>0;当x>16时,T′<0;所以当x=16时,T最大,即该厂的日产量定为16件,能获得最大盈利.10.已知函数f(x)=-x3+12x+m.(1)若x∈R,求函数f(x)的极大值与极小值之差;(2)若函数y=f(x)有三个零点,求m的取值范围;(3)当x∈[-1,3]时,f(x)的最小值为-2,求f(x)的最大值.[解] (1)f′(x)=-3x2+12.当f′(x)=0时,x=-2或x=2.当f′(x)>0时,-2<x<2.当f′(x)<0时,x<-2或x>2.∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在(-2,2)上单调递增.∴f(x)极小值=f(-2)=-16+m.f(x)极大值=f(2)=16+m.∴f(x)极大值-f(x)极小值=32.(2)由(1)知要使函数y=f(x)有三个零点,必须即∴-16<m<16.∴m的取值范围为(-16,16).(3)当x∈[-1,3]时,由(1)知f(x)在[-1,2)上单调递增,f(x)在[2,3]上单调递减,f(x)的最大值为f(2).又f(-1)=-11+m,f(3)=m+9,∴f(-1)<f(3),∴在[-1,3]上f(x)的最小值为f(-1)=-11+m,∴-11+m=-2,∴m=9.∴当x∈[-1,3]时,f(x)的最大值为f(2)=(-2)3+12×2+9=25.5 1.若函数f(x)=x3-(2b+1)x2+b(b+1)x在(0,2)内有极小值,则( )A.0<b<1B.0<b<2C.-1<b<1D.-1<b<2C [f′(x)=x2-(2b+1)x+b(b+1)=(x-b)[x-(b+1)].令f′(x)=0,则x=b或x=b+1,x=b+1是极小值点,∴0<b+1<2,∴-1<b<1.]2.定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>1-f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞)A [由题意可知不等式为exf(x)-ex-5>0,设g(x)=exf(x)-ex-5,∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1]>0.∴函数g(x)在定义域上单调递增.又∵g(0)=0,∴g(x)>0的解集为(0,+∞).]3.已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0,则a的值为________.1 [f(x)的定义域为(-a,+∞),f′(x)=1-=.由f′(x)=0,解得x=1-a>-a.当-a<x<1-a时,f′(x)<0,f(x)在(-a,1-a)上单调递减;当x>1-a时,f′(x)>0,f(x)在(1-a,+∞)上单调递增.因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.]4.若函数f(x)=x2+ax+在上是增函数,则a的取值范围是________.[3,+∞) [因为f(x)=x2+ax+在上是增函数,故f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立,即a≥-2x在上恒成立.令h(x)=-2x,则h′(x)=--2,5 当x∈时,h′(x)<0,则h(x)为减函数,所以h(x)<h=3,所以a≥3.]5.已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R),(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)求证:当x>1时,x2+lnx<x3.[解] (1)f′(x)=x-,因为x=2是一个极值点,所以2-=0,则a=4.此时f′(x)=x-=,因为f(x)的定义域是(0,+∞),所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞),f′(x)>0,所以当a=4时,x=2是一个极小值点,故a=4.(2)因为f′(x)=x-=,所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).当a>0时,f′(x)=x-==,所以函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);递减区间为(0,).(3)证明:设g(x)=x3-x2-lnx,则g′(x)=2x2-x-,因为当x>1时,g′(x)=>0,所以g(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,所以g(x)>g(1)=>0,所以当x>1时,x2+lnx<x3.5
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高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 13:59:11
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