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第三章 数系的扩充与复数的引入
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新人教A版选修2-2高中数学第3章数系的扩充与复数的引入专题强化训练3(附解析)
新人教A版选修2-2高中数学第3章数系的扩充与复数的引入专题强化训练3(附解析)
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数系的扩充与复数的引入(建议用时:40分钟)一、选择题1.如图所示,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )A.A B.BC.CD.DB [设z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,则z的共轭复数为a-bi,其中a<0,-b<0,故应为B点.]2.已知a,b∈C,下列命题正确的是( )A.3i<5iB.a=0⇔|a|=0C.若|a|=|b|,则a=±bD.a2≥0B [A选项中,虚数不能比较大小;B选项正确;C选项中,当a,b∈R时,结论成立,但在复数集中不一定成立,如|i|=,但i≠-+i或-i;D选项中,当a∈R时结论成立,但在复数集中不一定成立,如i2=-1<0.]3.复数的共轭复数为( )A.-+iB.+iC.-iD.--iD [===-+i,共轭复数为--i.故选D.]4.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(a+bi)2=( )A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3iA [由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.]5.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )4 A.1B.-1C.D.-B [∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,∴由a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0,得m3+1=0,即m=-1.]二、填空题6.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.3 [∵|a+bi|==,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.]7.复数z满足方程i=1-i,则z=________.-1+i [∵i=1-i,∴===-i(1-i)=-1-i,∴z=-1+i.]8.若复数(-6+k2)-(k2-4)i所对应的点在第三象限,则实数k的取值范围是________.(-,-2)∪(2,) [由已知得∴4<k2<6.∴-<k<-2或2<k<.]三、解答题9.计算:(1)(1-i)(1+i);(2)+.[解] (1)法一:(1-i)(1+i)=(1+i)=(1+i)=+i+i+i2=-1+i.法二:原式=(1-i)(1+i)=(1-i2)=2=-1+i.(2)+=+=+4 =i+=i-1.10.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,求复数z.[解] 设z=bi(b∈R,b≠0),则(z+2)2-8i=(2+bi)2-8i=(4-b2)+(4b-8)i,∵(z+2)2-8i为纯虚数,∴4-b2=0且4b-8≠0.∴b=-2.∴z=-2i.1.设z是复数,则下列命题中的假命题是( )A.若z2≥0,则z是实数 B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0C [设z=a+bi(a,b∈R),选项A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,则故b=0或a,b都为0,即z为实数,正确.选项B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,则则故z一定为虚数,正确.选项C,若z为虚数,则b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,由于a的值不确定,故z2无法与0比较大小,错误.选项D,若z为纯虚数,则则z2=-b2<0,正确.]2.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A [z===[(m-4)-2(m+1)i],其实部为(m-4),虚部为-(m+1),由得此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限.]3.已知i为虚数单位,则复数z=的虚部为________.-1 [z===-i,因此虚部为-1.]4.已知复数z1=i(1-i)3,若|z|=1,则|z-z1|的最大值为________.2+1 [|z1|=|i(1-i)3|=|i|·|1-i|3=2.如图所示,由|z|=1可知,z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐标系中的点Z1(2,-2).所以|z-z14 |的最大值可以看成是点Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆半径)=2+1.]5.已知z,w为复数,(1+3i)z为实数,w=且|w|=5,求z,w.[解] 设z=x+yi,(x,y∈R),所以(1+3i)z=(x-3y)+(3x+y)i,又(1+3i)z为实数,所以3x+y=0,即y=-3x,所以w===[(2x-3x)+(-6x-x)i]=-(1+7i),又因为|w|=5,所以||=5,所以x=±5.当x=5时,z=5-15i,当x=-5时,z=-5+15i.w=±(1+7i).4
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所属:
高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 15:00:02
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