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第三章 数系的扩充与复数的引入
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新人教A版选修2-2高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末综合测评3(附解析)
新人教A版选修2-2高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末综合测评3(附解析)
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数系的扩充与复数的引入(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=( )A.1-2i B.1+2iC.1+iD.1-iC [设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.]2.设iz=4+3i,则z=( )A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4iC [法一:因为iz=4+3i,所以z====3-4i.故选C.法二:设z=a+bi(a,b∈R),则由iz=4+3i,可得i(a+bi)=4+3i,即-b+ai=4+3i,所以,即,所以z=3-4i.故选C.]3.若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( )A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+iA [由已知得=i(1-i)=i+1,则z=1-i,故选A.]4.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)C [z==4-2i对应的点的坐标是(4,-2),故选C.]5.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )A.-1B.0C.1D.2B [∵(2+ai)(a-2i)=-4i,∴4a+(a2-4)i=-4i.∴解得a=0.故选B.]6 6.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件A [因为z1=z2,所以解得m=1或m=-2,所以m=1是z1=z2的充分不必要条件.]7.设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于( )A.iB.-iC.±1D.±iD [设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,由z+=4,z·=8得,⇒⇒所以===±i.]8.如图所示,在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A.3+iB.3-iC.1-3iD.-1+3iD [=+=1+2i-2+i=-1+3i,所以C对应的复数为-1+3i.]9.若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b=( )A.B.C.-D.2C [因为==-i,又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数,所以=,即b=-.]10.设z∈C,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在( )6 A.实轴上B.虚轴上C.直线y=±x(x≠0)上D.以上都不对C [设z=x+yi(x,y∈R),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.∵z2为纯虚数,∴∴y=±x(x≠0).]11.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是( )A.(1,5)B.(1,3)C.(1,)D.(1,)C [由已知,得|z|=.由0<a<2,得0<a2<4,∴1<a2+1<5.∴|z|=∈(1,).故选C.]12.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是( )A.若z+z>0,则z>-zB.|z1-z2|=C.z+z=0⇔z1=z2=0D.z1-1是纯虚数或零D [举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则z=15+8i,z=-8i,z+z>0,但z与-z都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则z=3+4i,z=-3-4i,z+z=0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,b∈R),则1=a-bi,故z1-1=2bi,当b=0时是零,当b≠0时,是纯虚数.故D正确.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.21 [复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21.]14.a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=________. [==1-ai,则=|1-ai|==2,所以a2=3.又a为正实数,所以a=.]15.设a,b∈R,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为________.6 8 [a+bi====5+3i,依据复数相等的充要条件可得a=5,b=3.从而a+b=8.]16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=________.4i [设m=bi(b∈R且b≠0),则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,即解得∴m=4i.]三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何值时,(1)z是实数?(2)z是纯虚数?[解] (1)要使复数z为实数,需满足解得m=-2或-1.即当m=-2或-1时,z是实数.(2)要使复数z为纯虚数,需满足解得m=3.即当m=3时,z是纯虚数.18.(本小题满分12分)已知复数z1=1-i,z1·z2+1=2+2i,求复数z2.[解] 因为z1=1-i,所以1=1+i,所以z1·z2=2+2i-1=2+2i-(1+i)=1+i.设z2=a+bi(a,b∈R),由z1·z2=1+i,得(1-i)(a+bi)=1+i,所以(a+b)+(b-a)i=1+i,所以解得a=0,b=1,所以z2=i.19.(本小题满分12分)计算:(1);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.[解] (1)原式======-1+i.(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z6 的共轭复数.[解] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi且|z|==1,即a2+b2=1.①因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而(3+4i)z是纯虚数,所以3a-4b=0,且3b+4a≠0.②由①②联立,解得或所以=-i,或=-+i.21.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.[解] (1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.22.(本小题满分12分)已知z为虚数,z+为实数.(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)求|z-4|的取值范围.[解] (1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,所以y-=0,因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,由(x-2)2<9得x∈(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|=6 ==∈(1,5).6
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【高考调研】2022高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测试题 新人教A版选修2-2
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高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 15:00:02
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