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2023高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教师用书教案理新人教版202303081229
2023高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教师用书教案理新人教版202303081229
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数系的扩充与复数的引入[考试要求] 1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、减的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,a,b∈R).2.复数的几何意义3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则\n设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:===+i(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).1.(1±i)2=±2i;=i;=-i.2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|zn|=|z|n.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a∈C,则a2≥0.( )(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.( )(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.( )(4)方程x2+x+1=0没有解.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材习题衍生1.设z=(1+i)(2-i),则复数z在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A [z=(1+i)(2-i)=3+i,故复数z在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限.]2.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是( )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4iD [∵=+=-=-1-3i-2-i=-3-4i,故选D.]\n3.设复数z满足=i,则|z|等于( )A.1B.C.D.2A [=i,则z==i,∴|z|=1.]4.已知(1+2i)=4+3i,则z=.2+i [由(1+2i)=4+3i得===2-i.∴z=2+i.]考点一 复数的有关概念 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准的代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).(3)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=;③z∈R⇔z2≥0.(4)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.1.(2020·广州模拟)如果复数z=,则( )A.z的共轭复数为1+iB.z的虚部为-iC.|z|=2D.z的实部为-1D [∵z====-1-i,∴z的实部为-1,故选D.]2.(2020·大连模拟)设(1+2i)x=x+yi,其中x,y是实数,i为虚数单位,则=( )A.1B.C.D.D [由x+2xi=x+yi,x,y∈R,则y=2x,=|2+i|=,故选D.]\n3.如果复数是纯虚数,那么实数m等于( )A.-1B.0C.0或1D.0或-1D [==,因为此复数为纯虚数,所以解得m=-1或0,故选D.]考点二 复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法:复数的加、减、乘法类似于多项式的运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,使分母实数化.解题中要注意把i的幂写成最简形式.[典例1] (1)对于两个复数α=1-i,β=1+i,有下列四个结论:①αβ=1;②=-i;③=1;④α2+β2=0,其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2020·武汉调研)已知复数z满足z+|z|=1+i,则z=( )A.-iB.iC.1-iD.1+i(1)C (2)B [(1)αβ=(1-i)(1+i)=2,①不正确;===-i,②正确;=|-i|=1,③正确;α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=-2i+2i=0,④正确.(2)设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=(a+)+bi=1+i,所以解得所以z=i,故选B.]点评:(1)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(2)在z,,|z|中至少含有两个的复数方程中,可设z=a+bi,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.1.(2020·全国卷Ⅲ)若(1+i)=1-i,则z=( )A.1-iB.1+iC.-iD.iD [∵(1+i)=1-i,∴===-i,∴z=i,故选D.]2.(2020·全国卷Ⅰ)若z=1+i,则|z2-2z|=( )A.0B.1C.D.2\nD [法一:∵z=1+i,∴|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.故选D.法二:∵z=1+i,∴|z2-2z|=|z||z-2|=×|-1+i|=×=2.故选D.]考点三 复数的几何意义 与复数几何意义相关的问题的一般解法[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1(2)(2020·黄冈模拟)已知i是虚数单位,则复数在复平面上所对应的点的坐标为( )A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,0)D.(0,-1)(3)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)(1)C (2)A (3)A [(1)由题意可知z=x+yi,所以|z-i|=|x+(y-1)i|==1.∴x2+(y-1)2=1.故选C.(2)∵==i,∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1),故选A.(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以解得-3<m<1,故选A.]点评:复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个复数对应的点,只需确定复数的实部和虚部即可.1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于( )\nA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D [由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.]2.(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.2 [设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得x+y=x+y=4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=x+y+x+y+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=()2+12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i|====2.]
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:01
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文章作者:U-336598
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