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新人教A版选修2-2高中数学第1章导数及其应用章末综合测评1(附解析)

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章末综合测评(一) 导数及其应用(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列求导运算正确的是(  )A.(cosx)′=sinx    B.=cosC.=-D.=D [A错误,(cosx)′=-sinx;B错误;=0;C错误;=-;D正确.]2.如果物体的运动方程为s=+2t(t>1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是(  )A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米/秒A [∵s=s(t)=+2t,∴s′(t)=-+2.故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)=-+2=.]3.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为(  )A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2A [∵y′==,∴k=y′|==2,∴切线方程为:y+1=2(x+1),即y=2x+1.]4.若函数f(x)=x3-f′(1)·x2-x,则f′(1)的值为(  )A.0B.2C.1D.-19 A [∵f(x)=x3-f′(1)·x2-x,∴f′(x)=x2-2f′(1)·x-1,∴f′(1)=1-2f′(1)-1,∴f′(1)=0.]5.函数f(x)=x·e-x的一个单调递增区间是(  )A.[-1,0]B.[2,8]C.[1,2]D.[0,2]A [f(x)=x·e-x,则f′(x)==,令f′(x)>0,得x<1,故增区间为(-∞,1),又因为[-1,0]⊂(-∞,1),故选A.]6.函数f(x)=exsinx在区间上的值域为(  )A.[0,e]B.(0,e)C.[0,e)D.(0,e]A [f′(x)=ex(sinx+cosx).∵x∈,f′(x)>0.∴f(x)在上是单调增函数,∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f=e.]7.一物体以速度v=3t2+2t(单位:m/s)做直线运动,则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是(  )A.31mB.36mC.38mD.40mB [S=(3t2+2t)dt=(t3+t2)|=33+32=36(m).]8.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是(  )A.2B.1C.0D.由a确定C [f′(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C.]9.已知f(x)=ax3+bx2+x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示,若|x1|>|x2|,则有(  )9 A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b>0D.a>0,b<0B [∵f′(x)=3ax2+2bx+1有两个零点x1,x2,且|x1|>|x2|,由图可知x1+x2=-<0,且x1是极小值点,∴a<0,b<0.]10.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(  )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1A [f′(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,则f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0⇒a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f′(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f′(x)=0,得x=-2或x=1,当x<-2或x>1时,f′(x)>0,当-2<x<1时,f′(x)<0,则f(x)极小值为f(1)=-1.]11.设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)(  )A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点D [f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=3,当0<x<3时,f′(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数.又f(1)=>0,f(e)=-1<0,f=9 +1>0,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.]12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)A [当x>0时,令F(x)=,则F′(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)>0;在(1,+∞)上,F(x)<0.即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.(3x+sinx)dx=__________.+1 [(3x+sinx)dx==-(0-cos0)=+1.]14.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.(-ln2,2) [设P(x0,y0),∵y=e-x,∴y′=-e-x,∴点P处的切线斜率为k=-e=-2,∴-x0=ln2,∴x0=-ln2,∴y0=eln2=2,∴点P的坐标为(-ln2,2).]15.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点,则a9 的取值范围是__________.(-2,2) [令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可求得f(x)的极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图所示,-2<a<2时,恰有三个不同公共点.]16.将边长为1m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是________. [设AD=x(0<x<1),则DE=AD=x,∴梯形的周长为x+2(1-x)+1=3-x.又S△ADE=x2,∴梯形的面积为-x2,∴s=×(0<x<1),则s′=×.令s′=0,解得x=.当x∈时,s′<0,s为减函数;当x∈时,s′>0,s为增函数.故当x=时,s取得极小值,也是最小值,此时s的最小值为.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0),求函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积.[解] 根据题意,得到f(x)=,从而得到y=xf(x)=所以围成的面积为S=2x2dx+(-2x2+2x)dx=.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.9 [解] (1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.∵f(x)在x=3处取得极值,∴f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,f′(1)=6-24+18=0,∴切线方程为y=16.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性.[解] f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(1)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-,则f′(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.③若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.20.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(1)求a,b的值;(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.[解] (1)f′(x)=6x2+6ax+3b.因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,则有f′(1)=0,f′(2)=0,即解得9 (2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,则f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).当x∈[0,1)时,f′(x)>0;当x∈[1,2]时,f′(x)<0;当x∈(2,3]时,f′(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.所以当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9.故c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因为r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因为V(r)=(300r-4r3),所以V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.9 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<+<e.解:(1)因为f(x)=x(1-lnx),所以f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-lnx+x·=-lnx.当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)由题意,a,b是两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,两边同时除以ab,得-=-,即=,即f=f.令x1=,x2=,由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且当0<x<e时,f(x)>0,当x>e时,f(x)<0,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2<e.要证2<+<e,即证2<x1+x2<e.先证x1+x2>2:要证x1+x2>2,即证x2>2-x1,因为0<x1<1<x2<e,所以x2>2-x1>1,又f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以即证f(x2)<f(2-x1),又f(x1)=f(x2),所以即证f(x1)<f(2-x1),即证当x∈(0,1)时,f(x)-f(2-x)<0.构造函数F(x)=f(x)-f(2-x),则F′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],当0<x<1时,x(2-x)<1,则-ln[x(2-x)]>0,即当0<x<1时,F′(x)>0,所以F(x)在(0,1)上单调递增,所以当0<x<1时,F(x)<F(1)=0,所以当0<x<1时,f(x)-f(2-x)<0成立,所以x1+x2>2成立.再证x1+x2<e:由(1)知,f(x)的极大值点为x=1,f(x)的极大值为f(1)=1,过点(0,0),(1,1)的直线方程为y=x,设f(x1)=f(x2)=m,当x∈(0,1)时,f(x)=x(1-lnx)>x,直线y=x与直线y=m9 的交点坐标为(m,m),则x1<m.欲证x1+x2<e,即证x1+x2<m+x2<f(x2)+x2<e,即证当1<x<e时,f(x)+x<e.构造函数h(x)=f(x)+x,则h′(x)=1-lnx,当1<x<e时,h′(x)>0,所以函数h(x)在(1,e)上单调递增,所以当1<x<e时,h(x)<h(e)=f(e)+e=e,即f(x)+x<e成立,所以x1+x2<e成立.综上可知,2<+<e成立.9

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-01-14 14:00:04 页数:9
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文章作者:随遇而安

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