湘教版选修2-2课件4.3.1 利用导数研究函数的单调性

4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性 [学习目标]1．理解导数与函数单调性之间的关系．2．会利用导数研究函数的单调性．3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间． [知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？ 答根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减． [预习导引]1．设函数y＝f(x)在某个区间上的导数为f′(x)，如果，那么函数y＝f(x)递增；如果，那么函数y＝f(x)递减．2．从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的，变化率的绝对值越大说明变得越，绝对值越小说明变得越；从函数的图象看，导数是切线的，斜率的绝对值大说明切线，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较，曲线也就平缓一些．f′(x)>0f′(x)<0变化率快慢斜率陡平 规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0. 要点二　利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2lnx；(4)f(x)＝x3－3tx. 规律方法求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)定义域内满足f′(x)＞0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)＜0的区间为减区间． 跟踪演练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝x3－x2－x. 规律方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围． 跟踪演练3设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a＞0，∴a＜0.∴a的取值范围为(－∞，0). 再见