湘教版选修2-2当堂检测4.4 生活中的优化问题举例

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4.4　生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8B.C．－1D．－8答案　C解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)A.B.C.D．2答案　C解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.3.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解　设箱底边长为xcm，则箱高h＝cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16000. 由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值．答　当x＝40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0<x≤120)，h′(x)＝－＝(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答　汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．

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所属：高中 - 数学

发布时间：2023-03-24 18:05:02 页数：3

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文章作者：U-344380

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