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【高考调研】2022高中数学 1-4 生活中的优化问题举例课后巩固 新人教A版选修2-2
【高考调研】2022高中数学 1-4 生活中的优化问题举例课后巩固 新人教A版选修2-2
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【高考调研】2022高中数学1-4生活中的优化问题举例课后巩固新人教A版选修2-21.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B.C.D.2答案 C解析 设底面边长为x,则表面积S=x2+(x>0),S′=(x3-4V).令S′=0,得唯一极值点x=.2.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )A.6B.8C.10D.12答案 B3.用长度为l的铁丝围成长方形,则围成的长方形的最大面积为( )A.B.C.D.答案 D解析 设长方形一边为x,则另一边为.S=x·=-x2+x.S′=-2x+.令S′=0,得x=.∴S最大=-()2+·=.4.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R,其中a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≠0求函数f(x)的极大值和极小值;(3)当a>3时,证明存在k∈[-1,0],使得不等式f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)对任意的x∈R恒成立.3\n解析 (1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,得f(2)=-2,f′(x)=-3x2+4x-1,f′(2)=-12+8-1=-5,∴当a=1时,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0.(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f′(x)=0,解得x=或x=a.由于a≠0,以下分两种情况讨论.①若a>0,当x变化时,f′(x)的正负如下表:x(-∞,)(,a)a(a,+∞)f′(x)-0+0-因此,函数f(x)在x=处取得极小值f(),且f()=-a3.函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0,当x变化时,f′(x)正负如下表:x(-∞,a)a(a,)(,+∞)f′(x)-0+0-因此函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;函数f(x)在x=处取得极大值f(),且f()=-a3.(3)证明:由a>3,得到>1,当k∈[-1,0]时,k-cosx≤1,k2-cosx≤1.由(2)知f(x)在(-∞,1]上是减函数,要使f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)(x∈R),只要k-cosx≤k2-cos2x(x∈R).即cos2x-cosx≤k2-k(x∈R).○*设g(x)=cos2x-cosx=(cosx-)2-,则函数g(x)在R上的最大值为2.要使○*式恒成立必须k2-k≥2,即k≥2或k≤-1.所以,在区间[-1,0]上存在k=-1,使得f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)对任意的x∈R恒成立.3\n5.设A、B两地相距30千米,如下图所示在它们之间铺设一条铁道,由于地质条件不同,在y>0地区铺设费用为105元/千米,而在y≤0地区铺设费用为6×104元/千米,求最经济的铺设线路.解析 设∠ADx=θ,由图形的对称性可知,研究y轴的一侧即可.由点A向x轴作垂线,设垂足为C,则CD=5cotθ,AD=.∴DO=15-DC=15-5cotθ.设铺设铁道的费用为P,则P=(15-5cotθ)×6×104+×105.P′=3×105·-5×105.令P′=0,得=.∴cosθ=,此时sinθ=,cotθ=.∴OD=.在x轴上取点D(,0),E(-,0),则AD→DE→EB为最佳经济铺设线路.3
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:06:41
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文章作者:U-336598
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