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第一章 导数及其应用
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高中数学课时作业8生活中的优化问题举例(附解析新人教A版选修2-2)
高中数学课时作业8生活中的优化问题举例(附解析新人教A版选修2-2)
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生活中的优化问题举例(建议用时:40分钟)一、选择题1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18A [要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.]2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为( )A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对B [设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y′=48x-192.令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y′<0;当4<x≤8时,y′>0.所以当x=4时,y最小.]3.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A.cmB.cmC.cmD.cmD [设圆锥的高为xcm,则底面半径为cm.其体积为V=πx(202-x2)(0<x<20),V′=π(400-3x2).令V′=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0.所以当x=时,V取最大值.]4.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )A.和RB.R和RC.R和RD.以上都不对7 B [设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x,则另一边长为2,则l=2x+4(0<x<R),l′=2-.令l′=0,解得x1=R,x2=-R(舍去).当0<x<R时,l′>0;当R<x<R时,l′<0.所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R,R.]5.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是( )A.100B.150C.200D.300D [由题意,得总成本函数为C(x)=20000+100x,总利润P(x)=R(x)-C(x)=所以P′(x)=令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.]二、填空题6.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产________千台.6 [设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6).令y′=0,解得x=0或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.]7.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为________.40 [由题设知y′=x2-39x-40,令y′>0,解得x>40或x<-1,7 故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)上递增,在(0,40]上递减.∴当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.]8.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为________时容器的容积最大.1.2m [设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为[14.8-4x-4(x+0.5)]=(3.2-2x)m.由3.2-2x>0及x>0,得0<x<1.6.设容器容积为y,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6),y′=-6x2+4.4x+1.6.由y′=0及0<x<1.6,解得x=1.在定义域(0,1.6)内,只有x=1使y′=0.由题意,若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6),y的值都很小(接近于0).因此当x=1时,y取最大值,且ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为1.2m.]三、解答题9.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?[解] 设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.q′=0.012v-=(v3-8000),令q′=0,解得v=20.当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需的费用总和最少.10.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex7 (e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.[解] (1)设日销售量为,则=10,∴k=10e40,则日售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=10e40;答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40.(2)L′(x)=10e40.①当2≤a≤4时,33≤a+31≤35,当35<x<41时,L′(x)<0.∴当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;②当4<a≤5时,35≤a+31≤36,令L′(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.综合上得L(x)max=.答:当2≤a≤4时,当每件产品的日售价35元时,为L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4<a≤5时,每件产品的日售价为a+31元时,该商品的日利润L(x)最大,最大值为10e9-a.1.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( )A.πB.πC.πD.πA [设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3.则V′=lπr-6πr2,令V′=0,得r=0或r=,而r>0,7 ∴r=是其唯一的极值点.∴当r=时,V取得最大值,最大值为π.]2.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),当容器的体积最大时,该容器的高为( )A.8cmB.9cmC.10cmD.12cmC [设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3,则V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(0<x<24),因为V′(x)=12x2-552x+4320,由12x2-552x+4320=0,得x=10或x=36(舍),因为当0<x<10时,V′(x)>0,当10<x<24时,V′(x)<0,所以当x=10时,V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值,所以容器高x=10cm时,容器体积V(x)最大.]3.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30nmile/h,当速度为10nmile/h时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800nmile,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为________.20nmile/h [由题意设燃料费y与航速v间满足y=av3(0≤v≤30),又∵25=a·103,∴a=.设从甲地到乙地海轮的航速为v,费用为y,则y=av3×+×400=20v2+.由y′=40v-=0,得v=20<30.当0<v<20时,y′<0;当20<v<30时y′>0,∴当v=20时,y最小.]7 4.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是__________. [设CD=x,则点C的坐标为,点B的坐标为,∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·=-+x,x∈(0,2).由f′(x)=-x2+1=0,得x1=-(舍),x2=,∴x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故当x=时,f(x)取最大值.]5.如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?[解] 设C点距D点xkm,则AC=50-x(km),所以BC==(km).又设总的水管费用为y元,依题意,得y=3a(50-x)+5a(0<x<50).y′=-3a+.7 令y′=0,解得x=30.在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.7
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