湘教版选修1-1同步练习3.3.3 三次函数的性质 单调区间和极值

1．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到．其中正确命题的序号是(　　)．A．①④B．②④C．①②D．③④2．函数f(x)＝x3＋x在区间[－1,1]上(　　)．A．最小值为－1，最大值为2B．最小值为－2，最大值为2C．最小值为－1，最大值为1D．最小值为0，最大值为13．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是(　　)．A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值，也无极小值D．既有极大值又有极小值4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)．A．－2B．0C．2D．45．若f(x)＝x3＋mx2＋5x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．6．函数f(x)＝9＋3x－x3的极小值为__________．7．函数f(x)＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最大值和最小值分别为__________，__________.8．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；(2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围． 参考答案1．B2．B　∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)为增函数．∴f(x)的最小值为f(－1)＝－2，f(x)的最大值为f(1)＝2.3．D　f′(x)＝－3x2－2x＝－3x(x＋)．令f′(x)＝0，则x＝0或－.当x∈(－∞，－)时，f′(x)＜0；当x∈(－，0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.∴f(x)在x＝－处取得极小值，f(x)在x＝0处取得极大值．4．C　f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或2(舍去)．∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2，∴f(x)最大值＝2.5．[－，]　f′(x)＝3x2＋2mx＋5.由题意，知(2m)2－4×3×5≤0，得－≤m≤.6．7　f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝－1处取得极小值，f(－1)＝9－3＋1＝7.7．0　－64　令f′(x)＝12x2－16x＝0，∴x＝0或x＝.当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，)时，f′(x)＜0；当x∈(，2)时，f′(x)＞0. 故f(x)在x＝0时取得极大值，在x＝时取得极小值．又∵f(0)＝0，f(－2)＝－64，f(2)＝0，f()＝－，∴函数的最大值为0，最小值为－64.8．解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值6极小值－26所以，f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称．若＜a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数，从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1，由f′(4a)≤12a，得0≤a≤.所以a∈(，1]∩[－，1]∩[0，]，即a∈(，]．若a＞1，则|f′(a)|＝12a2＞12a.故当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立．所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]．9．解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12＞0，即a＞或a＜－时，函数f′(x)存在零解，此时，当x＜时，f′(x)＞0， 当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上，若－≤a≤，则函数f(x)在x∈R时，单调递增；若a＞或a＜－，当x＜或x＞时，函数f(x)单调递增；当＜x＜时，函数f(x)单调递减．(2)若函数在区间(－，－)内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0的两根在区间(－，－)外，因此f′(－)≤0，且f′(－)≤0，由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是[2，＋∞)．