湘教版选修1-1同步练习3.3.2 函数的极大值和极小值

1．下列四个函数①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，在x＝0处取得极小值的函数是(　　)．A．①②B．②③C．③④D．①③2．(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)．A．2B．3C．6D．93．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的(　　)．A．极大值为0，极小值为－B．极大值为，极小值为0C．极小值为－，极大值为0D．极小值为0，极大值为4．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围为__________．5．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__________．6．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________．7．已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0，讨论f(x)的单调性．8．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案1．B　①与④在R上是增函数，取不到极值，由极值定义，结合图象知②③在x＝0处取得极小值．2．D　由题意，得f′(x)＝12x2－2ax－2b.∵函数f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0.∴12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.又∵a＞0，b＞0，由基本不等式得a＋b≥2，∴ab≤()2＝()2＝9，故ab的最大值是9.3．B　∵f(x)与x轴切于点(1,0)，f′(x)＝3x2－2px－q，∴f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x.∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝.当x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.故x＝时，取得极大值；x＝1时，取得极小值0.4．(0，)　f(x)在(0,1)上存在极值点转换为f′(x)＝3x2－6b＝0在(0,1)上有解，即b＝，x∈(0,1)有解，转化为函数y＝，x∈(0,1)上的值域问题，所以b∈(0，)．5．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　f(x)为三次函数，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不相等的实数根，化简f′(x)＝0有x2＋2ax＋(a＋2)＝0，从而有Δ＝(2a)2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.即a∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．6．　设剪成的另一块正三角形的边长为x. 则S＝＝·(0＜x＜1)，所以S′＝·＝－·.令S′＝0，得x＝或3(舍去)．∴x＝是S的极小值点且是最小值点．∴Smin＝·＝.7．解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.当Δ＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递减此时f(x)在(0，上单调递增，在上单调递减，在，＋∞)上单调递增．8．解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，所以当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)＞g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.