苏教版必修第一册第8章测评

第8章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=x(x+4),x<0,x(x-4),x≥0,则该函数的零点的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1B.2C.3D.4答案C解析当x<0时,令x(x+4)=0,解得x=-4;当x≥0时,令x(x-4)=0,解得x=0或x=4.综上,该函数的零点有3个.2.函数f(x)=log3(x+1)+x-2的零点所在的一个区间是(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B解析因为f(0)=-2,f(1)=log32-1<0,f(2)=1>0,f(3)=log34+1>0,f(4)=log35+2>0,所以函数零点所在的一个区间是(1,2).故选B.3.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是(　　)答案C解析二分法求函数零点时,其零点左右两侧的函数值符号相反,而C中零点两侧函数值同号,故选C. 4基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(　　)A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,∴r=2.286=0.38,∴e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t≈0.69,∴t≈0.690.38≈1.8(天),故选B.5已知函数f(x)=log2x,1<x≤2,1x-1,x>2,若方程f(x)-a=0至少有两个实数根,则实数a的取值范围为(　　)A.(0,1)B.(0,1]C.[0,2)D.[0,2]答案A解析方程f(x)-a=0至少有两个实数根,等价于函数f(x)的图象与直线y=a至少有两个不同的交点.作出直线y=a与函数f(x)的图象,如图所示.根据图象可知,当0<a<1时,函数f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点;当a=1时,函数f(x)的图象与直线y=a有一个交点;当a>1或a≤0时,函数f(x)的图象与直线y=a没有交点,所以a的取值范围是(0,1). 6.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是(　　)答案B解析由鱼缸的形状可知,水的体积随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢.故选B.7.若函数f(x)=ax,2<x≤a,loga(x-2),x>a(其中a>0,a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是(　　)A.12,1∪(1,3)B.(1,3]C.(2,3)D.(2,3]答案C解析由函数的解析式可知a>2,因为指数函数y=ax是增函数,在区间(2,a]上无零点,所以函数y=loga(x-2)在区间(a,+∞)上存在零点,由于y=loga(x-2)是增函数,故当x=a时,有loga(a-2)<0=loga1,从而a-2<1,即a<3,所以实数a的取值范围是(2,3).故选C.8.已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　　)A.-∞,-12∪(22,+∞) B.-∞,-12∪(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)答案D解析f(x)=x3,x≥0,-x,x<0,g(x)=f(x)-|kx2-2x|有4个零点,即f(x)=|kx2-2x|有四个交点.(1)若k>0,则如图.①∵1k>1k3,∴k3>k,k2>1,k>1,∴左侧无交点.②x3=kx2-2x要有三个根,即x2-kx+2=0有两根,∵Δ=k2-8>0,∴k>22.综上①②,k>22.(2)若k<0,如图.∵点1k,-1k恰在y=-x上,且过二次函数顶点,∴k<0恒成立.综上,k∈(-∞,0)∪(22,+∞).故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:kg)与时间x(单位:h)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　) A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品答案BD解析由图象得,前3小时内,每小时的产量逐步减少,故A错误,B正确;后2小时均没有生产,故C错误,D正确.故选BD.10已知函数f(x)=-x2-2x,x≤m,x-4,x>m恰有两个零点,实数m的取值范围可以是(　　)A.(-∞,-2)B.[-2,0)C.[0,4)D.[4,+∞)答案BD解析在同一平面直角坐标系中,作出函数y=-x2-2x,y=x-4的图象,如图,由图象可知,当-2≤m<0时,函数f(x)有两个零点-2和4;当m≥4时,函数f(x)有两个零点-2和0.故选BD.11函数f(x)的定义域为[-1,1),其图象如图所示,函数g(x)是定义域为R的奇函数,满足g(2-x)+g(x)=0,且x∈(0,1)时,g(x)=f(x),则以下结论正确的是(　　) A.g(0)=0B.g(x)是以2为周期的函数C.函数g(x)在(-1,5)上有且仅有3个零点D.不等式f(-x)<0的解集为{x|-1<x<0}答案ABD解析对于A,由函数g(x)是定义域为R的奇函数得到g(0)=0,故A正确;对于B,由于g(2-x)=-g(x)=g(-x),所以函数的周期为2,故B正确;对于C,由周期为2可知g(4)=g(2)=g(0)=0,由g(2-x)+g(x)=0可得g(1)+g(1)=2g(1)=0,所以g(3)=g(1)=0,故C错误;对于D,结合函数f(x)的图象,由f(-x)<0得0<-x<1,解得-1<x<0,故D正确.故选ABD.12已知函数f(x)=1-x21+x2,则下列关于f(x)的性质表述正确的是(　　)A.f(x)为偶函数B.f1x=-f(x)C.f(x)在[2,3]上的最大值为-45D.g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上至少有一个零点答案ABD解析f(x)=1-x21+x2的定义城为R,f(-x)=1-(-x)21+(-x)2=1-x21+x2=f(x), 所以函数f(x)为偶函数,故A正确;f1x=1-1x21+1x2=x2-1x2+1=-f(x),故B正确;因为f(x)=1-x21+x2=-1+21+x2,当x∈[2,3]时,y=1+x2是增函数,所以f(x)=-1+21+x2是减函数,因此f(x)max=f(2)=-1+21+4=-35,故C错误;因为g(x)=f(x)+x,所以g(-1)=f(-1)-1=-1,g(0)=f(0)+0=1,即g(-1)g(0)<0.由零点存在定理可得,g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上存在零点,故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.如果函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则另一个零点是　　　　　. 答案3解析函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则f(0)=0,所以m=-3,则f(x)=x2-3x,于是另一个零点是3.14.用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上的近似解,先取区间中点c=32,则下一个含根的区间是　　　　　. 答案32,2解析令f(x)=lnx-2+x,则f(1)=ln1-2+1=-1<0,f(2)=ln2-2+2=ln2>0,f32=ln32-2+32=ln32-12=ln32-lne=ln32e=ln94e<ln1=0,∴f32·f(2)<0,∴下一个含根的区间是32,2.15.已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的取值范围为　　　　　. 答案(-2,0) 解析∵f(x)在(0,1)上有零点,∴-a=x2+x在(0,1)上有解,令y=x2+x=x+122-14,则函数y=x2+x,x∈(0,1)的值域为(0,2),∴0<-a<2,∴-2<a<0.16用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园,墙长为16米,则矩形花园面积的最大值是　　　　　平方米. 答案98解析设与墙平行的篱笆长为x米,由题可得0<x≤16,则花园面积S=x·28-x2=-12(x-14)2+98,0<x≤16,则当x=14时,S取得最大值为98,故矩形花园面积的最大值是98平方米.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x).(1)证明:函数f(x)是偶函数;(2)求函数f(x)的零点.(1)证明由3+x>0,3-x>0,解得-3<x<3,∴函数的定义域为{x|-3<x<3},关于原点对称,又f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)解f(x)=ln(3-x)+ln(3+x)=ln(9-x2).令f(x)=ln(9-x2)=0,∴9-x2=1,解得x=±22(经检验符合题意).∴函数f(x)的零点为-22和22. 18.(12分)某变异病毒感染的治疗过程中,需要用到某医药公司生产的A类药品.该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元,每生产x千件需另投入成本为C(x)=110x2+20x(单位:万元),每千件药品售价为60万元,此类药品年生产量不超过280千件,假设在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完.(1)求公司生产A类药品当年所获利润y(单位:万元)的最大值.(2)当年产量为多少千件时,每千件药品的平均利润最大?并求最大平均利润.解(1)由题可得0<x≤280,y=60x-110x2+20x-160=-110x2+40x-160=-110(x-200)2+3840≤3840,当x=200时,y取得最大值3840.所以当年产量为200千件时,在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元.(2)可知平均利润为-110x2+40x-160x=-x10+160x+40≤-2x10·160x+40=32,当且仅当x10=160x,即x=40时,等号成立.所以当年产量为40千件时,每千件药品的平均利润最大为32万元.19.(12分)已知函数f(x)=x|x-2|.(1)若x∈[-1,2],求函数f(x)的值域;(2)若函数g(x)=f(x)+ax-1在区间(0,+∞)上恰好有三个零点,求实数a的取值范围.解(1)当x∈[-1,2]时,f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,所以x=1时,f(x)有最大值1;x=-1时,f(x)有最小值-3.故值域为[-3,1].(2)令g(x)=0,得a=1x-|x-2|,令y=1x-|x-2|,当x≥2时,y=1x-x+2,易知函数y=1x-x+2在[2,+∞)上为减函数,所以y≤12;当0<x<2时,y=1x+x-2≥21x·x-2=0,当且仅当x=1时,等号成立. 作出y=1x-|x-2|的简图如下,由题意及图象可知,a的取值范围为0,12.20.(12分)利用计算器,用二分法求方程lgx+x-3=0的近似解(精确到0.1).解令f(x)=lgx+x-3,可知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(2)f(3)<0,所以可知方程lgx+x-3=0的解在区间(2,3)内.利用二分法逐步计算,列表如下:区间中点值中点的函数值的符号(2,3)2.5f(2.5)<0(2.5,3)2.75f(2.75)>0(2.5,2.75)2.625f(2.625)>0(2.5,2.625)2.5625f(2.5625)<0因为f(2.5625)f(2.625)<0,且2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以方程lgx+x-3=0的近似解可取2.6.21.(12分)已知函数f(x)是开口向上的二次函数,0和5是函数的两个零点,且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的解析式. 解(1)由题意,可设f(x)=ax(x-5)(a>0),∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a=12.∴a=2.∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).(2)由(1)知f(x)=2x2-10x=2x-522-252,①当t+1<52,即t<32时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t+1)=2(t+1)2-10(t+1)=2t2-6t-8;②当t>52时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,∴g(t)=f(t)=2t2-10t;③当t≤52≤t+1,即32≤t≤52时,f(x)在对称轴处取得最小值,∴g(t)=f52=-252.综上所述,g(t)=2t2-6t-8,t<32,-252,32≤t≤52,2t2-10t,t>52.22.(12分)为减少人员聚集,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示,当S中有x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均上班路上时间为f(x)(单位:分钟),则f(x)=30,0<x≤30,2x+1800x-90,30<x<100,而公交群体中的人均上班路上时间不受x的影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x取何值时,自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间?(2)已知上班族S的人均上班路上时间计算公式为:g(x)=f(x)·x%+40(100-x)%,讨论g(x)的单调性,并说明实际意义.(注:人均上班路上时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)解(1)依题意得,当0<x≤30时,f(x)=30<40,不符, 当30<x<100时,f(x)=2x+1800x-90,若自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间,则30<x<100,2x+1800x-90=40,解得x=20(舍)或x=45,即当x=45时自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=-110x+40;当30<x<100时,g(x)=150x2-1310x+58,即g(x)=-110x+40,0<x≤30,150x2-1310x+58,30<x<100.当0<x≤30时,g(x)=-110x+40是减函数,则g(x)≥g(30)=37;当30<x<100时,g(x)=150x2-1310x+58,在x∈(30,32.5)上是减函数,g(x)<g(30)=37,在x∈(32.5,100)上是增函数.综上,当x∈(0.32.5)时,g(x)是减函数,当x∈(32.5,100)时,g(x)是增函数.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均上班路上时间随着S中自驾成员的增加而减少;当大于32.5%的人自驾时,人均上班路上时间随着S中自驾成员的增加而增加;当自驾人数等于32.5%时,人均上班路上时间最少.