苏教版必修第一册第6章测评

第6章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(　　)答案C解析设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=12.所以y=x,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,故选C.2下列函数中是增函数的为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.f(x)=-xB.f(x)=23xC.f(x)=x2D.f(x)=3x答案D解析借助函数的图形可知,对于A,函数是减函数,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数是减函数,不合题意;对于C,函数在定义域内没有单调性,不合题意;对于D,根据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.3.函数f(x)=x3+x的图象关于(　　)A.y轴对称B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C解析∵f(x)=x3+x是奇函数,∴图象关于坐标原点对称.4.设a=log3π,b=log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是(　　)A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案C解析∵log32<log22<log23,∴c<b.又log23<log22=log33<log3π,∴b<a,∴c<b<a,故选C.5.函数y=|lg(x+1)|的图象是(　　)答案A解析将y=lgx的图象向左平移一个单位长度,然后把位于x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,就得到y=|lg(x+1)|的图象.6.函数y=122x-x2的值域是(　　)A.RB.(0,+∞)C.(2,+∞)D.12,+∞ 答案D解析∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴122x-x2≥12,∴函数y=122x-x2的值域是12,+∞,故选D.7.函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上是减函数,则a的取值范围是(　　)A.(0,1)B.(1,3)C.(1,3]D.(3,+∞)答案B解析∵a>0且a≠1,∴u=6-ax是减函数.∵f(x)在[0,2]上是减函数,∴y=logau是增函数,∴a>1.又在[0,2]上需满足u=6-ax>0,∴u(2)=6-2a>0,∴a<3.综上,1<a<3.故选B.8.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间0,12上恒有f(x)>0,则函数f(x)的增区间为(　　)A.-∞,14B.-14,+∞C.(0,+∞)D.-∞,-12答案D解析∵x∈0,12,∴u(x)=2x2+x=2x+142-18∈(0,1),依题意,当u∈(0,1)时,logau>0恒成立,∴0<a<1,∴y=logau在u∈(0,1)上是减函数,∴f(x)的增区间应为u(x)=2x2+x的减区间,且保证u(x)>0.故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列函数是指数函数的有(　　)A.y=πxB.y=2·3xC.y=(a-1)xD.y=e-x答案AD解析由指数函数的定义可得AD对,B系数不对,C中a-1的取值不确定. 10.若a>b,则下列大小关系错误的是(　　)A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|答案ABD解析取a=2,b=1,满足a>b,但ln(a-b)=0,故A错;由9=32>31=3,故B错;取a=1,b=-2,满足a>b,但|1|<|-2|,故D错;因为幂函数y=x3是增函数,a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正确.11.已知函数y=12x的图象与函数y=logax(a>0,a≠1)的图象交于点P(x0,y0),若x0≥2,那么a的取值可以是(　　)A.4B.8C.16D.32答案CD解析由已知中两函数的图象交于点P(x0,y0),由指数函数的性质可知,若x0≥2,则0<y0≤14,即0<logax0≤14,由于x0≥2,所以a>1且4a≥x0≥2,解得a≥16.12设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值可以为(　　)A.2B.12C.3D.13答案CD解析令t=ax(a>0,a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax∈a,1a,此时f(t)在a,1a上为增函数.所以f(t)max=f1a=1a+12-2=14.所以1a+12=16,解得a=-15(舍去)或a=13.②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈1a,a, 此时f(t)在1a,a上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上得a=13或3.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案(3,5)解析因为f(x)=x-12=1x(x>0),易知x∈(0,+∞)时为减函数,又f(a+1)<f(10-2a),所以a+1>0,10-2a>0,a+1>10-2a,即a>-1,a<5,a>3,解得3<a<5.所以a的取值范围为(3,5).14已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　　. 答案1解析∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.15如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标为　　　　　　. 答案(1,2) 解析设A(n,2n),B(m,2m),则Cm2,2m,因为AC平行于y轴,所以n=m2,所以Am2,2n,B(m,2m).又因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB,所以2nm2=2mm,即n=m-1,又由n=m2,解得n=1,所以点A的坐标为(1,2).16.若函数f(x)=e|x-a|(a为常数),则函数的最小值为　　　　　　,若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是　　　　　. 答案1　(-∞,1]解析∵f(x)=e|x-a|=ex-a(x≥a),e-x+a(x<a)在[a,+∞)上是增函数,在(-∞,a)上是减函数,∴函数的最小值为f(a)=1.又f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴[1,+∞)⊆[a,+∞),∴a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无公共点,且关于y轴对称,求m的值,并画出函数的图象.解由条件得m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3(m∈Z).又关于y轴对称,∴m2-2m-3为偶数.故m=-1或1或3.当m=1时,幂函数为y=x-4,其图象如图1所示.当m=-1或m=3时,幂函数为y=x0,其图象如图2所示.18.(12分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点(2,0.5),其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=ax-1(x≥0)的值域. 解(1)依题意f(2)=0.5,即a=0.5=12.(2)f(x)=12x-1(x≥0),∵x≥0,∴x-1≥-1,∴0<12x-1≤12-1=2,即值域为(0,2].19.(12分)已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).(1)若f(x)为偶函数,求b的值;(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.解(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)记h(x)=|x+b|=x+b,x≥-b,-x-b,x<-b.①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是减函数,但h(x)在区间[-b,+∞)上是增函数,故不存在a,b的值,使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.20.(12分)若函数f(x)满足f(logax)=aa2-1·x-1x(其中a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式,并判断其奇偶性和单调性;(2)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求a的取值范围.解(1)设logax=t,则x=at,且t∈R,则f(t)=aa2-1·at-1at(t∈R),∴f(x)=aa2-1·ax-1ax=aa2-1·(ax-a-x)(x∈R). ∵f(-x)=aa2-1·(a-x-ax)=-aa2-1·(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.①当a>1时,y=ax是增函数,y=-a-x也是增函数,且aa2-1>0,∴f(x)是增函数;②当0<a<1时,y=ax是减函数,y=-a-x也是减函数,且aa2-1<0,∴f(x)是增函数.综上可知,f(x)是R上的增函数.(2)令g(x)=f(x)-4,由(1)知,g(x)也是R上的增函数.依题意g(x)<0在x∈(-∞,2)上恒成立,故只需g(2)≤0,即f(2)-4=aa2-1·(a2-a-2)-4≤0,整理得a2-4a+1≤0,解得2-3≤a≤2+3,又a≠1,∴a的取值范围为[2-3,1)∪(1,2+3].21.(12分)已知函数f(x)=lga-x1+x.(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若f(x)在(-1,5]内有意义,求a的取值范围;(3)在(1)的条件下,若f(x)在区间(m,n)上的值域为(-1,+∞),求区间(m,n).解(1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,∴lga-x1+x+lga+x1-x=0,∴a2-x21-x2=1,∴a=1(a=-1舍去),此时f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.(2)∵f(x)在(-1,5]内有意义,且f(x)的定义域为(-1,a),∴(-1,5]⊆(-1,a),∴a>5,即a的取值范围是(5,+∞).(3)由(1)知,f(x)=lg1-x1+x,定义域为(-1,1),当x∈(-1,1)时,t=1-x1+x=-1+21+x为减函数,∴f(x)=lg1-x1+x在定义域内是减函数,∵f(x)在区间(m,n)上的值域是(-1,+∞),∴f(n)=lg1-n1+n=-1,m=-1,∴n=911, 即所求区间(m,n)为-1,911.22.(12分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)f(x)>kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.解(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2,因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f(x2)f(x)>kg(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>klog2x,令t=log2x,因为x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>kt对任意t∈[0,2]恒成立,①当t=0时,k∈R;②当t∈(0,2]时,k<(3-4t)(3-t)t恒成立,即k<4t+9t-15,因为4t+9t≥12,当且仅当4t=9t,即t=32时取等号,所以4t+9t-15的最小值为-3.综上,实数k的取值范围是(-∞,-3).