苏教版必修第二册第12章测评含答案解析

第12章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=2+i,则zz=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.3B.5C.3D.5答案D解析∵z=2+i,∴z=2-i.∴zz=(2+i)(2-i)=5.故选D.2复数z=21-i,在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析∵z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,∴z=1-i.∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.故选D.3.设z=3-i1+2i,则|z|=(　　)A.2B.3C.2D.1答案C解析∵z=3-i1+2i,∴z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15-75i,∴|z|=152+-752=2.故选C.4复数i+i2+i3+…+i2021=(　　) A.i-1B.iC.-1D.0答案B解析∵i+i2+i3+i4=0,i2021=(i4)505·i=i,∴i+i2+i3+…+i2021=505×0+i=i,故选B.5设复数z满足|z-2i|=3,复数z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)A.(x-2)2+y2=9B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y-2)2=9D.x2+(y+2)2=9答案D解析因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=x-yi,故z-2i=x+(-y-2)i,因为|z-2i|=3,所以x2+(y+2)2=3,化简可得x2+(y+2)2=9.故选D.6.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1z2为(　　)A.12+32iB.32+12iC.12-32iD.32-12i答案A解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=12+32i.7.已知z是复数,且p:z=12+32i;q:z+1z∈R.则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A 解析显然,当z=12+32i时,z+1z=12+32i+112+32i=12+32i+12-32i1=1∈R,但当z+1z∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+1a+bi=a+aa2+b2+b-ba2+b2i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=12+32i.故p是q的充分不必要条件,选A.8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　)A.3+4iB.4+3iC.403+3iD.3+403i答案B解析设z=x+yi(x,y∈R),则有x2+y2+2x+2yi=13+6i,于是x2+y2+2x=13,2y=6,解得x=4,y=3或x=403,y=3,因为13-2x≥0,故x≤132,所以x=403不符合要求,故z=4+3i.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9已知复数z=(1+2i)(2-i),z为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)A.z的虚部为3iB.|z|=5C.z-4为纯虚数D.z在复平面内对应的点在第四象限答案BCD解析因为z=(1+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虚部为3,选项A错误;因为|z|=|z|=42+32=5,所以选项B正确;因为z-4=3i为纯虚数,所以选项C正确;因为z=4-3i在复平面内对应的点(4,-3)在第四象限,所以选项D正确.故选BCD.10.已知复数z=a+bi(a,b∈R),且a+b=1,下列说法正确的是(　　)A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为z,且z=z,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数 D.|z|可以等于12答案BC解析当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;若|z|=12,则a2+b2=14,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,Δ=-32<0,无实数解,即|z|不可以等于12,D错误.11)已知复数z1=2-1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是(　　)A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z14=4D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上答案AB解析复数z1=2-1+i=-2(1+i)(1-i)(1+i)=-1-i,z1对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为-1,故B正确;(z1)4=(-1-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|z1|=2,满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,故D不正确.故选AB.12.设f(θ)=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos2θ+isin2θ,f3(θ)=cos3θ+isin3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　　)A.π10B.3π20C.π5D.π4答案AC解析f10(θ)=cos10θ+isin10θ,要使f10(θ)为实数,则sin10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=kπ10(k∈Z),当k=1时,θ=π10,当k=2时,θ=π5.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若21-i=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　　. 答案2解析因为21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i=a+bi,所以a=b=1.故a+b=2.14已知2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,则实数p=　　　　. 答案12解析∵2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,∴-2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的另一个根,则(2i-3)+(-2i-3)=-p2,得p=12.15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是　　　　,最大值是　　　　　. 答案1　5解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,-1)和(0,1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1,最大值为5.16.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是　　　　. 答案[3,7]解析设z=x+yi(x,y∈R),∵复数z满足|z+2-4i|=2,∴(x+2)2+(y-4)2=2,即(x+2)2+(y-4)2=4.∴在复平面内复数z所对应的点Z表示的是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.∵|z-1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离,又圆心与点(1,0)之间的距离d=(-2-1)2+42=5,∴|z-1|的范围是[d-r,d+r],即[3,7].四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求(1+i)2(3+4i)22z的值.解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,∴a2+b2-1-3i+a+bi=0,即a2+b2+a-1=0,b-3=0.解得a=-4,b=3.∴z=-4+3i,∴(1+i)2(3+4i)22z=2i(-7+24i)2(-4+3i)=24+7i4-3i=3+4i.18.(12分)当实数m为何值或何取值范围时,复数z=m2+m-6m+(m2-2m)i符合下列要求?(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.解(1)若z为实数,可得m2-2m=0,m≠0,解得m=2.所以当m=2时,z为实数.(2)若z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.所以当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.(3)若z为纯虚数,则m2+m-6m=0,m2-2m≠0,解得m=-3.所以当m=-3时,z为纯虚数.19.(12分在①z2=-7-24i,②z=(|z|-1)+5i,③z+1z是实数,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.已知z是虚数,且　　　　,求|z|. 解若选择①,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=-7-24i,由a2-b2=-7,2ab=-24,解得a=-3,b=4,或a=3,b=-4, 所以z=-3+4i,或z=3-4i,则|z|=5.若选择②,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z=a-bi=(|z|-1)+5i=(a2+b2-1)+5i,由a=a2+b2-1,-b=5,解得a=12,b=-5.所以z=12-5i,则|z|=13.若选择③,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则1z=1a+bi=a-bia2+b2,因为z+1z=a+bi+a-bia2+b2=a+aa2+b2+b-ba2+b2i是实数,所以b-ba2+b2=0,又b≠0,所以a2+b2=1,则|z|=1.20.(12分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若复数z1z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.解△ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1z2=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i.又因为z1z2为纯虚数,所以acosA=bcosB,acosB+bcosA≠0.①由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B为△ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.即A=B或C=π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.21.(12分)已知z为复数,z+2i和z2-i均为实数,其中i是虚数单位.(1)求复数z和|z|;(2)若z1=z+1m-1-7m+2i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则b+2=0,解得b=-2. 因为z2-i=2a+25+a-45i为实数,所以a-45=0,解得a=4.所以z=4-2i,|z|=25.(2)z1=4+1m-1+2-7m+2i对应的点在第四象限,则4+1m-1>0,2-7m+2<0,解得-2<m<34,或1<m<32.故实数m的取值范围为-2,34∪1,32.22.(12分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R.(1)求z1的共轭复数z1;(2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围.解(1)∵(1+i)z1=-1+5i,z1=(-1+5i)(1-i)(1+i)(1-i)=4+6i2=2+3i,∴z1的共轭复数z1=2-3i.(2)z1-z2=2+3i-(a-3+i)=(5-a)+2i,a∈R.若|z1-z2|<|z1|,则(5-a)2+22<22+32,即(a-2)(a-8)<0,解得2<a<8,∴a的取值范围为(2,8).