苏教版必修第二册第10章测评含答案解析

第10章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin140°cos10°+cos40°sin350°=(　　)A.12　　　　　　　B.-12C.32D.-32答案A解析依题意,原式=sin40°cos10°-cos40°·sin10°=sin(40°-10°)=sin30°=12,故选A.2.函数y=sin3x+cos3x的最小正周期是(　　)A.6πB.2πC.2π3D.π3答案C解析y=sin3x+cos3x=222sin3x+22cos3x=2sin3x+π4,可知该函数的最小正周期T=2π3,故选C.3sinπ12-cosπ12的值等于(　　)A.-22B.22C.-62D.62答案A解析sinπ12-cosπ12=2sinπ12-π4=-2sinπ6=-22.故选A. 4.已知sinα+2cosαsinα-2cosα=5,则cos2α+12sin2α=(　　)A.-25B.3C.-3D.25答案D解析因为sinα+2cosαsinα-2cosα=5,所以tanα+2tanα-2=5,解得tanα=3,cos2α+12sin2α=cos2α+sinαcosαcos2α+sin2α=1+tanα1+tan2α=1+31+9=25,故选D.5.已知sinπ6-α=13+cosα,则cos2α+π3=(　　)A.-79B.-439C.439D.79答案D解析sinπ6-α=13+cosα,整理得12cosα+32sinα=-13,即sinα+π6=-13,故cos2α+π3=1-2sin2α+π6=79.故选D.6已知sin2α=13,则cos2α-π4=(　　)A.-13B.13 C.-23D.23答案D解析cos2α-π4=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=1+132=23.故选D.7.已知sin(α+2β)=34,cosβ=13,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(　　)A.37-2212B.3-21412C.37+2212D.3+21412答案D解析因为sin(α+2β)=34,cosβ=13,α,β为锐角,所以0°<α+2β<180°.又cos2β=2cos2β-1=-79<0,所以90°<2β<180°.所以90°<α+2β<180°.由同角三角函数关系,可得cos(α+2β)=-74,sinβ=223,所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]=sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ=34×13--74×223=3+21412,故选D.8.设sin20°=m,cos20°=n,化简tan10°+11-tan10°-11-2sin210°=(　　)A.mnB.-mn C.nmD.-nm答案A解析因为sin20°=m,cos20°=n,所以tan10°+11-tan10°-11-2sin210°=1+sin10°cos10°1-sin10°cos10°-1cos20°=sin10°+cos10°cos10°-sin10°-1cos20°=1+2sin10°cos10°cos210°-sin210°-1cos20°=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9下列各式中,值为12的是(　　)A.sin72°cos42°-cos72°sin42°B.cos2π12sin2π12C.tan22.5°1-tan222.5°D.2tan15°cos215°答案ACD解析sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=12,故A满足条件;cos2π12sin2π12=1+cosπ62·1-cosπ62=1-cos2π64=1-344=116,故B不满足条件;tan22.5°1-tan222.5°=12·2tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°=12,故C满足条件;2tan15°cos215°=2sin15°cos15°=sin30°=12,故D满足条件.故选ACD.10.下列四个等式其中正确的是(　　)A.tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3 B.116sin50°+316cos50°=12C.cos2π8-sin2π8=12D.1sin10°-3cos10°=4答案AD解析tan60°=tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1-tan25°tan35°=3,故tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3,故A正确;116sin50°+316cos50°=(cos50°+3sin50°)16sin50°cos50°=2sin(50°+30°)8sin100°=14,故B错误;cos2π8-sin2π8=cosπ4=22,故C错误;1sin10°-3cos10°=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=2cos(60°+10°)12sin20°=2sin20°12sin20°=4,故D正确.故选AD.11.已知向量a=sinx-π6,3sinx,b=cosx-π6,-sinx,函数f(x)=a·b+32,x∈R,则下列结论正确的为(　　)A.fπ3-x=-fπ3+xB.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的最大值为1+32D.f(x)的图象关于直线x=π12对称答案ABD解析由题意f(x)=a·b+32=sinx-π6cosx-π6-3sin2x+32=12sin2x-π3-32(1-cos2x)+32 =12sin2xcosπ3-cos2xsinπ3+32cos2x=14sin2x+34cos2x=12sin2x+π3.对于A,fπ3-x=12sin2π3-x+π3=12sin(π-2x)=12sin2x,fπ3+x=12sin2π3+x+π3=12sin(π+2x)=-12sin2x,所以fπ3-x=-fπ3+x,故A正确;对于B,由T=2π2=π,故B正确;对于C,由-1≤sin2x+π3≤1,所以f(x)的最大值为12,故C不正确;对于D,由f(x)=12sin2x+π3的对称轴满足2x+π3=kπ+π2,k∈Z,即x=12kπ+π12,k∈Z.当k=0时,x=π12.所以直线x=π12为f(x)的图象的对称轴,故D正确.故选ABD.12已知α,β∈(0,π),sinα+π6=513,cosβ-π3=45,则sin(α-β)的可能取值为(　　)A.-3365B.-6365C.3365D.6365答案CD 解析∵cosβ-π3=45,∴cosβ-π3=cosβ+π6-π2=sinβ+π6=45,∵α,β∈(0,π),∴α+π6∈π6,7π6,β+π6∈π6,7π6.又sinα+π6=513∈0,12,sinβ+π6=45>12,∴α+π6∈5π6,π,β+π6∈π6,5π6,∴cosα+π6=-1213,cosβ+π6=±35,∴sin(α-β)=sinα+π6-β+π6=sinα+π6cosβ+π6-cosα+π6sinβ+π6=513×35+1213×45=6365,或sin(α-β)=513×-35+1213×45=3365.故选CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知cosα=35,α∈0,π2,则cosπ3+α=　　　　　. 答案3-4310解析因为cosα=35,α∈0,π2,则sinα=45,所以cosπ3+α=cosπ3cosα-sinπ3sinα=12×35-32×45=3-4310.14.如图,图象是由n(n∈N*且n≥2)个完全相同的正方形构成的平面几何图形,若α+β=π4,则n=　　　　　.  答案3解析设正方形的边长为1,则tanα=1n,tanβ=1n-1,因为α+β=π4,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=2n-1n2-n-1=1,解得n=3或n=0(舍去),所以n=3.15.已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,则tanα+π4=　　　　　　　,tan(α+2β)=　　　　　. 答案-8　311解析tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=23+21+23×(-2)=-8.tanβ-π4=tanβ-11+tanβ=-2,tanβ=-13.tan(α+2β)=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)tanβ=311.16现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为5-12;(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形;(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126°=　　　　　. 答案5+14解析如图,等腰三角形ABC,∠ABC=36°,设AB=BC=a,AC=b,取AC中点D,连接BD. 由题意得ba=5-12,sin∠ABC2=b2a=ba·12=5-12·12=5-14,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABC2=1-2×5-142=5+14,所以cos36°=5+14,所以sin126°=sin(90°+36°)=cos36°=5+14.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在平面直角坐标系中,已知角α,β的顶点都在坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1).(1)求sin2α的值.(2)若角β满足下列三个条件之一.①锐角β满足tanβ=2;②锐角β的终边在直线y=2x上;③角β的终边与20203π的终边相同.请从上述三个条件中任选一个,求cos(α-β)的值.解(1)已知角α始边与x轴非负半轴重合,顶点与原点重合,且角α的终边上有一点A,坐标为(1,-1),则sinα=-12=-22,cosα=12=22,可得sin2α=2sinαcosα=2×-22×22=-1.(2)若选①,锐角β满足tanβ=sinβcosβ=2,可得sin2β+cos2β=(2cosβ)2+cos2β=5cos2β=1,解得cosβ=55,sinβ=255, 可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22×55+-22×255=-1010;若选②,锐角β的终边在直线y=2x上,可得tanβ=2,由①可得cos(α-β)=-1010;若选③,角β的终边与20203π的终边相同,可得sinβ=sin20203π=sin673π+π3=-sinπ3=-32,cosβ=cos20203π=cos673π+π3=-cosπ3=-12,可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22×-12+-22×-32=6-24.18.(12分已知0<α<π2<β<π,tanα+π4=-2,sinβ=22.(1)求sinα+3cosα2sinα-cosα的值;(2)求sin(α+2β)的值.解(1)因为tanα+π4=tanα+11-tanα=-2,所以tanα=3.所以sinα+3cosα2sinα-cosα=tanα+32tanα-1=65.(2)因为tanα=3,0<α<π2,所以cosα=1010,sinα=31010.因为π2<β<π,sinβ=22,所以β=3π4, 所以sin(α+2β)=sinα+3π2=-cosα=-1010.19.(12分)求值:(1)sin50°(1+3tan10°);(2)sin5°-sin20°cos15°cos5°-sin20°sin15°.解(1)sin50°(1+3tan10°)=sin50°1+3×sin10°cos10°=sin50°×cos10°+3sin10°cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1.(2)sin5°-sin20°cos15°cos5°-sin20°sin15°=sin(20°-15°)-sin20°cos15°cos(20°-15°)-sin20°sin15°=(sin20°cos15°-cos20°sin15°)-sin20°cos15°(cos20°cos15°+sin20°sin15°)-sin20°sin15°=-sin15°cos15°=-2sin215°2sin15°cos15°=-1-cos30°sin30°=-1-3212=3-2.20.(12分)已知α∈π2,π,tanα=-34.(1)求tan2α的值;(2)求sinα+2cosα5cosα-sinα的值; (3)求sin2α-π6的值.解(1)∵α∈π2,π,tanα=-34,∴tan2α=2tanα1-tan2α=-247.(2)∵tanα=-34,∴sinα+2cosα5cosα-sinα=tanα+25-tanα=-34+25+34=523.(3)∵sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=-2425,cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2αtan2α+1=1-916916+1=725,∴sin2α-π6=sin2αcosπ6-cos2αsinπ6=-2425×32-725×12=-243+750.21.(12分)已知函数f(x)=sinxcosx-3sin2x+32.(1)若x∈-π3,π6,求函数f(x)的值域;(2)设α∈π2,π,若fα2-π12=45,求cosα的值.解(1)f(x)=sinxcosx-3sin2x+32=12sin2x-32(1-cos2x)+32=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3, 因为x∈-π3,π6,-π3≤2x+π3≤2π3,则-32≤sin2x+π3≤1,所以函数f(x)在-π3,π6上的值域为-32,1.(2)fα2-π12=sin2α2-π12+π3=sinα+π6=45,因为α∈π2,π,则2π3<α+π6<7π6,所以cosα+π6=-1-sin2(α+π6)=-35,所以cosα=cosα+π6-π6=32cosα+π6+12sinα+π6=4-3310.22.(12分)已知向量a=(cosα,5sinβ+2sinα),b=(sinα,5cosβ-2cosα),且a∥b.(1)求cos(α+β)的值;(2)若α,β∈0,π2,且tanα=13,求2α+β的值.解(1)因为a∥b,所以cosα(5cosβ-2cosα)-sinα(5sinβ+2sinα)=0,所以5(cosαcosβ-sinαsinβ)=2(sin2α+cos2α)=2,所以5cos(α+β)=2,即cos(α+β)=255.(2)因为α,β∈0,π2,所以0<α+β<π.因为cos(α+β)=255,所以sin(α+β)=55,所以tan(α+β)=12. 因为tanα=13,所以tan(2α+β)=tanα+tan(α+β)1-tanαtan(α+β)=13+121-12×13=1.因为0<α+β<π,且cos(α+β)=255>0,所以0<α+β<π2.因为0<α<π2,所以0<2α+β<π.因为tan(2α+β)=1,所以2α+β=π4.