苏教版必修第二册第11章测评含答案解析

第11章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a∶b∶c=4∶3∶2,则2sinA-sinBsin2C=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.37B.57C.97D.107答案D解析由题意2sinA-sinBsin2C=2sinA-sinB2sinCcosC=2a-b2ccosC,因为a∶b∶c=4∶3∶2,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得cosC=(16+9-4)k22×4×3k2=78,则2sinA-sinBsin2C=(8-3)k4×78k=107.故选D.2.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC=(　　)A.255B.55C.31010D.1010答案C解析如图所示,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D作DE⊥AB,垂足为点E.易知四边形BCDE是正方形,则BE=CD=1,所以AE=AB-BE=1. 在Rt△ADE中,AD=AE2+DE2=2,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=5,在△ACD中,由余弦定理,得cos∠DAC=AC2+AD2-CD22AC·AD=5+2-12×5×2=31010.故选C.3.若sinAa=cosBb=cosCc,则三角形ABC是(　　)A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形答案C解析因为sinAa=cosBb,所以acosB=bsinA,所以由正弦定理得sinAcosB=sinBsinA,又sinA≠0,所以cosB=sinB,所以B=45°.同理C=45°,故A=90°.所以三角形ABC是等腰直角三角形.4.(2021浙江杭州上城校级期中)在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=22,则c=(　　)A.22B.1C.2D.2答案D解析在△ABC中,∵A=105°,B=45°,b=22,∴C=180°-A-B=30°.∴c=bsinCsinB=22×1222=2.故选D.5.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为(　　) A.26海里/时B.46海里/时C.86海里/时D.166海里/时答案C解析由题意PM=64海里,∠MPN=120°,在△PMN中,由正弦定理,得MN=PMsin∠MPNsin∠MNP=326海里,所以船的航行速度为32614-10=86海里/时.故选C.6.在△ABC中,若bsin2A+2asinB=0,b=2c,则ca的值为(　　)A.1B.33C.55D.77答案C解析因为bsin2A+2asinB=0,所以sinBsin2A+2sinAsinB=0,即2sinBsinAcosA+2sinAsinB=0.由于sinBsinA≠0,所以cosA=-22,因为0<A<π,所以A=3π4,又b=2c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2cbcosA=2c2+c2+2c2=5c2,所以ca=55.故选C.7.一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西45°方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1km后到达D处,这时塔和寺庙分别在游客的北偏东30°和北偏西15°方向,则塔B与寺庙C的距离为(　　)A.2kmB.3km C.2kmD.1km答案C解析由题可得∠BDA=90°-30°=60°,在Rt△ABD中,AD=1,所以AB=3.在△ACD中,AD=1,∠ADC=105°,∠DAC=45°,所以∠DCA=30°,所以由正弦定理,得AC=ADsin∠ADCsin∠DCA=6+22.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos45°=8+434+3-2×6+22×3×22=2,所以BC=2.故选C.8.如图,某建筑物的高度BC=300m,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为(　　)A.100mB.200mC.300mD.100m答案B解析根据题意,得在Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300m,所以AC=BCsin60°=30032=2003m.在△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°.由正弦定理,得AQsin∠QCA=ACsin∠AQC,解得AQ=2003×2232=2002m.在Rt△APQ中,PQ=AQsin45°=200m.故选B. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是(　　)A.a2=b2+c2-2bccosAB.asinB=bsinAC.a=bcosC+ccosBD.acosB+bcosA=sinC答案ABC解析在A中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故A正确;在B中,由正弦定理得asinA=bsinB,∴asinB=bsinA,故B正确;在C中,由余弦定理得右边=b×a2+b2-c22ab+c×a2+c2-b22ac,整理,得右边=a,左边=右边,故C正确;在D中,由余弦定理得acosB+bcosA=a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc=c≠sinC,故D错误.故选ABC.10.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是(　　)A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°答案BC 解析选项B满足csin60°<b<c,选项C满足bsin45°<a<b,所以B,C有两解;对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,三角形有一解;对于选项D,由sinB=bsinAa,且b<a,可得B为锐角,只有一解,所以三角形只有一解.故选BC.11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是(　　)A.cosC=33B.sinB=23C.a=3D.S△ABC=2答案AD解析因为A+3C=π,所以B=2C,根据正弦定理可得23sin2C=3sinC,即23sinC=6sinCcosC,因为sinC≠0,故cosC=33,sinC=63,sinB=sin2C=2sinCcosC=223.c2=a2+b2-2abcosC,化简得a2-4a+3=0,解得a=3,或a=1.若a=3,此时A=C=π4,B=π2,不满足题意,故a=1.S△ABC=12absinC=12×1×23×63=2.故选AD.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为877答案ACD解析(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,t>0,解得a=4t,b=5t,c=6t,可得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;其中c为最大边,cosC=a2+b2-c22ab=16t2+25t2-36t22·4t·5t=18>0,即C为锐角,故B错误;其中a为最小边,由cosA=b2+c2-a22bc=25t2+36t2-16t22·5t·6t=34,可得cos2A=2cos2A-1=2×916-1=18=cosC.由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;若c=6,则2R=csinC=61-164=167,所以△ABC外接圆半径为877,故D正确.故选ACD. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在△ABC中,a=1,sinA=210,sinC=35,则c=　　　　　. 答案32解析由正弦定理,得c=asinCsinA=1×35210=32.14.在△ABC中,a=3,b=4,c=6,则bccosA+accosB+abcosC的值是　　　　　. 答案612解析因为cosA=b2+c2-a22bc,所以bccosA=12(b2+c2-a2).同理,accosB=12(a2+c2-b2),abcosC=12(a2+b2-c2).所以bccosA+accosB+abcosC=12(a2+b2+c2)=612.15.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:a2-2abcosC+b2=c2,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数x,y,z,满足x2+xy+y2=9,y2+yz+z2=16,z2+zx+x2=25,则xy+yz+zx=　　　　　. 答案83解析设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC内取点O,使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3,设OA=x,OB=y,OC=z,由余弦定理得c2=x2-2xycos∠AOB+y2=x2+xy+y2=9,所以c=3.同理可得a=4,b=5.因为a2+c2=b2,所以∠ABC=90°.△ABC的面积为S△ABC=12ac=6. 又因为S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12xysin2π3+12yzsin2π3+12zxsin2π3=34(xy+yz+zx)=6,所以xy+yz+zx=83.16我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法:“今有望海岛,立两表齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地,取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目着地,取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”这一方法领先印度500多年,领先欧洲1300多年.其大意为:测量望海岛PQ的高度及离岸距离,在海岸边立两根等高的标杆AB,CD(PQ,AB,CD共面,均垂直于地面),使目测点E与P,B共线,目测点F与P,D共线,测出AE,CF,AC即可求出岛高和距离(如图).若AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,则PQ=　　　　,EQ=　　　　. 答案drb-a　dab-a解析设∠AEB=α,∠CFD=β,则tanα=ra,tanβ=rb.在△PEF中,PEsinβ=EFsin(α-β),得PE=EFsinβsin(α-β)=dsinβsin(α-β),所以PQ=PEsinα=dsinαsinβsin(α-β)=dsinαsinβsinαcosβ-cosαsinβ=dtanαtanβtanα-tanβ=d·r2abra-rb=drb-a.EQ=PEcosα=dcosαsinβsin(α-β)=dcosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ =dtanβtanα-tanβ=d·rbra-rb=dab-a.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB+1=bsinA+2cosC.(1)求角C的大小;(2)若a=2,a2+b2=2c2,求△ABC的面积.解(1)由正弦定理,得asinA=bsinB,∴asinB=bsinA.又asinB+1=bsinA+2cosC,∴2cosC=1,cosC=12.又0<C<π,∴C=π3.(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-ab,∵a=2,a2+b2=2c2,∴4+b2=2(4+b2-2b),解得b=2.∴S△ABC=12absinC=12×2×2×sinπ3=3.18.在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,　　　　　? 解由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.由sinA=3sinB及正弦定理,得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.方案一:选条件①.由①ac=3,解得a=3,b=c=1. 因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.因为b=c,所以B=C=π6.由A+B+C=π,得A=π-π6-π6=2π3.由②csinA=3,即csin2π3=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件③.由③c=3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.19.(12分)要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距200m的C,D两点,并测得∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,设A,B,C,D在同一平面内,试求A,B两点间的距离.解在△ACD中,因为∠ACD=30°,∠ADC=105°,所以∠DAC=180°-30°-105°=45°.由正弦定理,得AD=CDsin∠ACDsin∠DAC,所以AD=1002m.在△BCD中,∠CBD=180°-∠BDC-∠DCB=45°,由正弦定理,得BD=CDsin∠BCDsin∠DBC,所以BD=1006m.在△ABD中,∠BDA=105°-15°=90°,由勾股定理得AB=AD2+BD2=2002m, 即A,B两点间的距离为2002m.20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B.(1)求角C的大小;(2)若b=1,c=7,求cos2(B-C)的值.解(1)因为(2sinA-3sinB)2=4sin2C-sin2B,整理可得sin2A+sin2B-sin2C=3sinAsinB,利用正弦定理可得a2+b2-c2=3ab,由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=3ab2ab=32,因为C∈(0,π),所以C=π6.(2)因为C=π6,b=1,c=7,所以由正弦定理,得sinB=bsinCc=1×127=714.由b<c,可得B为锐角,所以cosB=1-sin2B=32114,所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=32114×32+714×12=5714,所以cos2(B-C)=2cos2(B-C)-1=2×57142-1=1114.21.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距4(3+3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距163海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为24海里/小时.(1)求BD的长; (2)该救援船到达D点所需的时间.解(1)由题意可知在△ADB中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,则∠ADB=105°.由正弦定理ABsin∠ADB=BDsin∠DAB,得4(3+3)sin105°=BDsin45°.所以BD=83(海里).(2)在△BCD中,BC=163,BD=83,∠CBD=60°,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos60°=(163)2+(83)2-2×163×83×12=242,所以CD=24(海里),所以t=sv=2424=1小时.即该救援船到达D点所需的时间为1小时.22.(12分)如图,在△ABC中,C=π4,角B的平分线BD交AC于点D,设∠CBD=θ,其中tanθ=12.(1)求sinA;(2)若CA·CB=28,求AB的长.解(1)由∠CBD=θ,且tanθ=12,因为θ∈0,π2,所以sinθ=12cosθ,sin2θ+cos2θ=14cos2θ+cos2θ=54cos2θ=1,所以cosθ=25,sinθ=15. 则sin∠ABC=sin2θ=2sinθcosθ=2×15×25=45,所以cos∠ABC=2cos2θ-1=2×45-1=35,sinA=sinπ-π4+2θ=sinπ4+2θ=22sin2θ+22cos2θ=22×35+45=7210.(2)由正弦定理,得BCsinA=ACsin∠ABC,即BC7210=AC45,所以BC=728AC.①又CA·CB=|CB||CA|cos∠ACB=28,所以|CB||CA|=282,②由①②解得AC=42,又由ABsinC=ACsin∠ABC,得AB22=4245,解得AB=5.