苏教版必修第一册第7章测评

第7章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.M=α|α=3π2+kπ,k∈ZB.M=α|α=3π2-kπ2,k∈ZC.M=α|α=-π2+kπ,k∈ZD.M=α|α=-π2+2kπ,k∈Z答案D解析终边在y轴的负半轴上的角为-π2+2kπ,k∈Z,所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为αα=-π2+2kπ,k∈Z.故选D.2.下列函数中,周期为4π的是(　　)A.y=sin4xB.y=cos2xC.y=tanx2D.y=sinx2答案D解析D中,T=2π12=4π,故选D.3.已知角α的终边经过点P(-2,4),则sinα-cosα的值等于(　　)A.355B.-335C.15D.-233 答案A解析∵角α的终边经过点P(-2,4),∴sinα=4(-2)2+42=255,cosα=-2(-2)2+42=-55,则sinα-cosα=355,故选A.4若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=(　　)A.-65B.-25C.25D.65答案C解析sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=4-24+1=25.故选C.5.化简1+2sin(π+3)sin3π2+3等于(　　)A.cos3-sin3B.sin3-cos3C.-sin3-cos3D.sin3+cos3答案C解析由题意,1+2sin(π+3)sin3π2+3=1+2sin3cos3=(sin3+cos3)2=|sin3+cos3|,∵3π4<3<π,∴sin3+cos3<0,∴原式为-sin3-cos3,故选C.6.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象如图所示,则φ=(　　) A.π4B.3π4C.5π4D.π4或5π4答案C解析根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象,可得A=4,2πω=7π2+π2,∴ω=12.再根据五点法作图可得12×-π2+φ=π,∴φ=5π4,故选C.7.已知函数f(x)=cosωx+π6(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象(　　)A.关于点π6,0对称B.关于直线x=π6对称C.关于点π3,0对称D.关于直线x=π3对称答案A解析由已知可得ω=2πT=2ππ=2,所以f(x)=cos2x+π6.因为fπ6=0,所以点π6,0是对称中心,直线x=π6不是对称轴,所以A正确,B错误;因为fπ3≠0,所以点π3,0不是对称中心,所以C错误;因为fπ3=-32≠±1,所以直线x=π3不是对称轴,所以D错误.故选A.8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)A.5B.6C.8D.10答案C解析由题意可知当sinπ6x+φ取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5, ∴y=3sinπ6x+φ+5,当sinπ6x+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列等式正确的是(　　)A.sinπ2+α=cosαB.cos(α-π)=-cosαC.sin600°=32D.tanπ2-αtanα=1答案ABD解析A,B,D由诱导公式可知正确;sin600°=sin240°=-sin60°=-32,C不正确.故选ABD.10.函数y=2sinπ6-2x在下列区间上为增函数的有(　　)A.-2π3,-π6B.π12,7π12C.π3,5π6D.5π6,π答案AC解析y=-2sin2x-π6,由π2+2kπ≤2x-π6≤32π+2kπ(k∈Z),可得π3+kπ≤x≤56π+kπ(k∈Z).当k=1时,函数y的增区间为π3,5π6;当k=-1时,函数y的增区间为-2π3,-π6.11.函数f(x)=sinx|cosx|在区间[-π,π]内的大致图象不可能的是(　　) 答案ABD解析x∈[-π,π],故不可能为B,D,当x∈-π,-π2时,cosx<0,f(x)=sinx-cosx=-tanx,故A不可能.12.若θ∈3π4,π,则下列各式中正确的有(　　)A.sinθ+cosθ<0B.sinθ-cosθ>0C.|sinθ|<|cosθ|D.sinθ+cosθ>0答案ABC解析若θ∈3π4,π,则sinθ∈0,22,cosθ∈-1,-22,∴sinθ+cosθ<0,故A成立;sinθ-cosθ>0,故B成立;|sinθ|<|cosθ|,故C成立;sinθ+cosθ<0,故D不成立.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知α∈π,3π2,tanα=2,则cosα=　　　　. 答案-55解析由tanα=sinαcosα=2,sin2α+cos2α=1,联立得cos2α=15,由α∈π,3π2知cosα<0,所以cosα=-55.14.函数y=16-x2+sinx的定义域为　　　　. 答案[-4,-π]∪[0,π]解析依题意,得16-x2≥0,sinx≥0.∴-4≤x≤4,2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z.如图,可得函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π]. 15.已知函数f(x)=2tanaπx+π6(a>0)的最小正周期是3,则a=　　　　,f(x)的对称中心为　　　　. 答案13　32k-12,0,k∈Z解析函数f(x)=2tanaπx+π6(a>0)的最小正周期是3,则3=πaπ,得a=13,所以函数f(x)=2tan13πx+π6,由13πx+π6=12kπ,k∈Z,得x=32k-12,故对称中心为32k-12,0,k∈Z.16.已知sin(540°+α)=-45,若α为第二象限角,则[sin(180°-α)+cos(α-360°)]2tan(180°+α)=　　　　　. 答案-3100解析因为sin(540°+α)=sin(360°+180°+α)=sin(180°+α)=-sinα=-45,所以sinα=45,又因为α为第二象限角,所以cosα=-1-sin2α=-35,tanα=-43,所以[sin(180°-α)+cos(α-360°)]2tan(180°+α)=(sinα+cosα)2tanα=-3100.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知角α的终边上一点P(m,2),且cosα=-33.(1)计算m及tanα; (2)求sin(π-α)+2sinπ2-αcos(α-2π)-cosα-3π2的值.解(1)∵角α的终边上一点P(m,2),且cosα=-33=mm2+2,∴m=-1,∴tanα=2m=-2.(2)sin(π-α)+2sinπ2-αcos(α-2π)-cosα-3π2=sinα+2cosαcosα+sinα=tanα+21+tanα=2-21-2=-2.18.(12分)已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=90°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?解(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=90°=π2,R=10,l=π2×10=5π(cm),S弓=S扇-S△=12×5π×10-12×102=25π-50(cm2).(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=C2+α,∴S扇=12αR2=12αC2+α2=C22·14+α+4α≤C216.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大值C216.19.(12分)(1)已知α∈0,π2,且sinαcosα=1225,求sinα+cosα的值;(2)如果sinα+3cosα=0,求sin2α+2sinαcosα的值.解(1)因为α∈0,π2,所以sinα+cosα>0,sinα+cosα=(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925=75.(2)因为sinα+3cosα=0,所以tanα=-3,sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=310.20.(12分)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表: ωx+φ0π2π3π22πxπ65π12f(x)2-2(1)先将表格补充完整,再写出函数f(x)的解析式,并求f(x)的最小正周期;(2)若方程f(x)=m在-π2,0上存在两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.解(1)ωx+φ0π2π3π22πx-π12π65π122π311π12f(x)020-20根据T4=5π12-π6,解得T=π,所以ω=2.当x=π6时,2×π6+φ=π2,解得φ=π6,由于函数的最大值为2,故A=2.所以函数的解析式为f(x)=2sin2x+π6.所以函数的最小正周期为π.(2)由于f(x)=2sin2x+π6,当x∈-π2,0时,整理得2x+π6∈-5π6,π6.所以f(x)∈[-2,1].所以函数的值域为[-2,1],①当m=-2时,函数的图象与直线y=m有一个交点.②当-2<m<-1时,函数的图象与直线y=m有两个交点. ③当m=-1时,函数的图象与直线y=m正好有两个交点.④当m>-1时,函数的图象与直线y=m有一个交点.故m的取值范围是(-2,-1].21.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的一段图象如图所示.将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,可得到函数g(x)的图象,且图象关于原点对称.(1)求f(x)的解析式并求其增区间;(2)求实数m的最小值,并写出此时g(x)的表达式;(3)在(2)的条件下,设t>0,关于x的函数h(x)=gtx2在区间-π3,π4上的最小值为-2,求实数t的取值范围.解(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的一段图象可知,A=2,12·2πω=11π12-5π12,∴ω=2.∵-π12+5π122=π6,根据“五点法”作图可得2·π6+φ=π2,∴φ=π6,f(x)=2sin2x+π6.令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,求得kπ-π3≤x≤kπ+π6,可得f(x)的增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度,可得到函数g(x)=2sin2x-2m+π6的图象.∵g(x)的图象关于原点对称,∴-2m+π6=kπ(k∈Z),∴m的最小值为π12,故g(x)=2sin2x. (3)∵t>0,函数h(x)=gtx2=2sintx在区间-π3,π4上的最小值为-2,∴π3≥14·2πt,∴t≥32,∴t的取值范围是32,+∞.22.(12分)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图).开启后,摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω>0,|φ|≤π2,求摩天轮转动一周的解析式H(t);(2)问:游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.解(1)H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B,由A+B=90,-A+B=10,解得A=40,B=50.又t=0时,H(0)=40sinφ+50=10,解得sinφ=-1,所以φ=-π2.又T=30,所以ω=2πT=2π30=π15,所以摩天轮转动一周的解析式为H(t)=40sinπ15t-π2+50.(2)令H(t)=30,得40sinπ15t-π2+50=30,即sinπ15t-π2=-12, 所以cosπ15t=12,解得π15t=π3,或π15t=5π3,解得t=5,或t=25.所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,和25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.(3)由题意知,游客甲距离地面高度解析式为y甲=40sinπ15t-π2+50,游客乙距离地面高度解析式为y乙=40sin(π15t-π3)-π2+50,则h=|y甲-y乙|=40cosπ15t-cosπ15t-π3=4012cosπ15t-32sinπ15t=40cosπ15t+π3.令π15t+π3=π,解得t=10,此时h=|y甲-y乙|取得最大值为40.所以两人距离地面的高度差h的最大值为40米.