苏教版必修第二册课后习题12.2 复数的运算

12.2　复数的运算1.设z1=2+bi(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+bi为(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1+iB.2+iC.3D.-2-i答案D解析因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以2+a=0,b+1=0,于是a=-2,b=-1,故a+bi=-2-i.2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为(　　)A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4答案A解析由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故b+4=0,a+3=0,4-b≠0,解得a=-3,b=-4.3.(2021全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　)A.-1-32iB.-1+32iC.-32+iD.-32-i答案B解析由题意得z=3+2i(1-i)2=3+2i-2i=-1+32i.4.若z=1+2i,则4izz-1=(　　)A.1B.-1C.iD.-i 答案C解析4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=i,故选C.5已知复数z=(1-i)-m(1+i)是纯虚数,则实数m=　　　　. 答案1解析由z=(1-i)-m(1+i)=(1-m)-(1+m)i是纯虚数,则1-m=0且1+m≠0,解得m=1.6.已知复数z=1-ii(i是虚数单位),则z2=　　　　　. 答案2i解析z=1-ii=(1-i)(-i)-i2=-1-i,∴z2=(-1-i)2=2i.7设m∈R,复数z1=m2+mm+2+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i.若z1+z2是虚数,求m的取值范围.解∵z1=m2+mm+2+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,∴z1+z2=m2+mm+2-2+[(m-15)+m(m-3)]i=m2-m-4m+2+(m2-2m-15)i.∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2,解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).所以m的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).8.计算:(1)-12+32i(2-i)(3+i);(2)(2+2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i).解(1)-12+32i(2-i)(3+i)=-12+32i·(7-i)=3-72+73+12i.(2)(2+2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i)=4i(4+5i)5-4-9i=-20+16i1-9i=-4(5-4i)(1+9i)82=-4(41+41i)82=-2-2i. 9.已知z=1+i是方程z2+bz+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断z=1-i是否为方程的根.解(1)因为1+i是方程z2+bz+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,于是b+c=0,2+b=0,解得b=-2,c=2,故b的值为-2,c的值为2.(2)由(1)方程可化为z2-2z+2=0,把z=1-i代入方程左边得z2-2z+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,所以z=1-i也是方程的根.10.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=　　　　　. 答案-2i解析设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.11.若复数z=a+2i2-i为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+1+i的虚部为(　　)A.2iB.2C.3iD.3答案B解析∵a+2i2-i=(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a-25+(4+a)i5为纯虚数,∴2a-25=0且4+a5≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B.12设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=(　　)A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C解析设z=x+yi(x,y∈R),则z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.13.关于x的方程3x2-a2x-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等于　　　　. 答案11或-715解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-a2m-1=(10-m-2m2)i, 所以3m2-a2m-1=0,10-m-2m2=0,解得a=11或-715.14.设z是虚数,ω=z+1z是实数,且-1<ω<2.(1)求z的实部的取值范围;(2)设u=1-z1+z,证明u为纯虚数.(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+1z=x+yi+1x+yi=x+yi+x-yix2+y2=x+xx2+y2+y-yx2+y2i.因为ω是实数且y≠0,所以y-yx2+y2=0,所以x2+y2=1.此时ω=2x.因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-12<x<1,即z的实部的取值范围是-12,1.(2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,由(1)知,x2+y2=1,∴u=1-z1+z=1-(x+yi)1+(x+yi)=(1-x-yi)(1+x-yi)(1+x)2+y2=1-x2-y2-2yi(1+x)2+y2=-y1+xi.因为x∈-12,1,y≠0,所以y1+x≠0,所以u为纯虚数.