苏教版必修第一册课件1.1.2 子集、全集、补集

第1章1.2子集、全集、补集 课标要求1.理解集合之间的包含的含义;2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系,并能用Venn图表示;3.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集. 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 基础落实•必备知识全过关 知识点1子集注意与元素与集合的关系相区分,子集是两个集合之间的关系1.概念如果集合A的都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.结合Venn图易知,集合A是集合B的一部分或其全部任意一个元素A⊆B或B⊇A 2.性质(1)A⊆A,即任何集合是它本身的子集.(2)A⊆B,B⊆C,则A⊆C(传递性).(3)⌀⊆A,即空集是任何集合的子集.名师点睛1.集合A是集合B的子集的含义:集合A的任意一个元素都是集合B的元素,即由任意x∈A,得x∈B.2.A⊆B有三种情况:(1)A是空集;(2)A是由B的部分元素组成的集合;(3)A是由B的全部元素组成的集合. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)集合A是集合B的子集,记作A∈B.()(2){0}的子集只有一个.()(3)若a∈A,则{a}⊆A.()××√ 2.任何两个集合之间是否都有包含关系?3.符号“∈”与“⊆”有何不同?提示不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系.提示符号“∈”表示元素与集合间的关系;而“⊆”表示集合与集合之间的关系. 知识点2真子集1.概念如果,那么集合A称为集合B的,记为,读作“A真包含于B”或“B真包含A”.集合A是集合B的一部分2.性质对于集合A,B,C,若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.A⊆B,并且A≠B真子集A⫋B或B⫌A 名师点睛1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,但x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不一定成立.2.若集合A={1,2},B={1,2,3},则A是B的子集,也是真子集,用符号A⊆B与A⫋B表示均可,但用A⫋B表示更准确.3.空集是任意非空集合的真子集. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)空集是任意集合的真子集.()(2){0}的真子集只有一个.()(3)若a∈A,则{a}⫋A.()2.若一个集合共有n个元素,它有几个子集?几个真子集?几个非空真子集?×√×提示若一个集合共有n个元素,则它有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集. 知识点3补集与全集1.补集的概念设A⊆S,由S中组成的集合称为S的子集A的补集,记为(读作“A在S中的补集”),即.图中阴影部分即表示∁SA.将集合S分成集合A及A在S中的补集两部分不属于A的所有元素∁SA∁SA={x|x∈S,且x∉A} 2.补集的性质∁U(∁UA)=A,∁UU=⌀,∁U⌀=U.3.全集的概念如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为,全集通常记作U.名师点睛1.所谓∁SA,即从全集S中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.2.∁SA表示S为全集时A的补集,如果全集换成其他集合(如R),则记号中的“S”也必须换成相应的集合.所有元素全集 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个集合在另一个集合中的补集可能是空集.()(2)数集问题的全集一定是实数集R.()(3)∁MA=∁NA.()√×× 2.已知全集U={-1,0,1},且∁UA={0},则A=.3.已知集合A={0,2,4,6},∁UA={-1,1,-3,3},∁UB={-1,0,2},则集合B=.答案{-1,1}解析∵U={-1,0,1},∁UA={0},∴A={-1,1}.答案{-3,1,3,4,6}解析因为U=A∪(∁UA)={0,2,4,6}∪{-1,1,-3,3}={-3,-1,0,1,2,3,4,6},又∁UB={-1,0,2},所以B={-3,1,3,4,6}. 重难探究•能力素养全提升 探究点一子集与真子集角度1集合间关系的判断【例1】判断下列各组集合之间的关系:(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};(2)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形};(3)A={x|0<x≤5},B={x|x≤5}; 解(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而D⫋B⫋A⫋C.(3)用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B. 规律方法判断集合间关系的方法(1)观察法:一一列举观察.(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图. 变式训练1指出下列各组集合之间的关系:(1)A={x|-1<x<5},B={x|0<x<5};(2)A={(x,y)|xy>0},B={(x,y)|x>0,y>0或x<0,y<0};(3)A={x|x=1+a2,a∈N*},B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}.解(1)集合B中的元素都在集合A中,但集合A中有些元素(比如0,-0.5)不在集合B中,故B⫋A.(2)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点,集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点,所以A=B. (3)对于任意x∈A,有x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5.∵a∈N*,∴a+2∈N*,∴x∈B.由子集的定义知,A⊆B.设1∈B,此时a2-4a+5=1,解得a=2∈N*.∵1+a2=1在a∈N*时无解,∴1∉A.综上所述,A⫋B. 角度2确定集合的子集、真子集【例2】设A={x|x2+5x+4=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.解由x2+5x+4=0,得(x+1)(x+4)=0,解方程得x=-4或x=-1.故集合A={-4,-1}.由0个元素构成的子集为⌀;由1个元素构成的子集为{-4},{-1};由2个元素构成的子集为{-4,-1};因此集合A的子集为⌀,{-4},{-1},{-4,-1},真子集为⌀,{-4},{-1}. 规律方法求集合子集、真子集的三个步骤 变式训练2满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有个.答案7解析由题意可得{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有三个元素的集合M可能为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有四个元素的集合M可能为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};含有五个元素的集合M可能为{1,2,3,4,5}.故满足题意的集合M共有7个. 角度3由集合间的关系求参数【例3】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⫋A,求实数m的取值范围.解当B≠⌀时,如图所示,解这两个不等式组,得2≤m≤3.当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2.综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}. 规律方法利用集合间的关系求参数的求解策略(1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为定集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠⌀)的含参数的问题时,要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,前者常被忽视,造成解答问题不全面. 变式探究若将本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2.当B≠⌀时,如图所示,综上可得,m的取值范围是{m|m<3}. 变式训练3已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为.答案{a|-2≤a≤1} 探究点二补集的运算【例4】(1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=.(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=.答案(1){2,3,5,7}(2){x|x<-3,或x=5}解析(1)(方法一定义法)因为A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. (方法二Venn图法)满足题意的Venn图如图所示.由图可知B={2,3,5,7}.(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知∁UA={x|x<-3,或x=5}. 规律方法求集合的补集的方法(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题. 变式训练4(1)设集合A={x|x≤6,x∈N*},B={2,4},则∁AB=()A.{2,4}B.{0,1,3,5}C.{1,3,5,6}D.{x|x≤6,x∈N*}(2)已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则∁UA=. 答案(1)C(2){x|0<x<2,或x≥6}解析(1)因为A={x|x≤6,x∈N*}={1,2,3,4,5,6},B={2,4},所以∁AB={1,3,5,6}.故选C.(2)如图,分别在数轴上表示两集合,则由补集的定义可知,∁UA={x|0<x<2,或x≥6}. 本节要点归纳1.知识清单:(1)子集、真子集的概念及集合关系的判断;(2)有限集中子集、真子集的个数;(3)由集合间的关系求参数;(4)补集的运算.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)忽略空集的情况;(2)求参数的取值范围时,忽略取值范围的边界等号是否成立;(3)求补集时未看清全集及忽略边界. 学以致用•随堂检测全达标 1.已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则()A.A∈BB.A⫋BC.B⫋AD.B∈A答案B解析如图,可知A⫋B. 2.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,5},则∁UA=()A.{1,3}B.{1,3,6}C.{2,3,6}D.{2,3,5}答案B解析∵集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,5},∴∁UA={1,3,6}.故选B. 3.集合A={a,b,c,d}的非空子集的个数是()A.13B.14C.15D.16答案C解析∵集合A={a,b,c,d}中有4个元素,∴非空子集的个数为24-1=15.故选C.4.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=.答案4解析由B⊆A可知,m=4. 5.设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则∁UA=,∁UB=.答案{-5,-4,3,4}{-5,-4,5}解析用Venn图表示如图,则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}. 6.已知集合A={x|1≤x≤2},设a为实数,B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A⫋B,求a的取值范围;(2)若B⊆A,求a的取值范围.解(1)若A⫋B,则集合A中的元素都在集合B中,且B中有不在A中的元素,则a>2.故a的取值范围为{a|a>2}.(2)若B⊆A,则集合B中的元素都在集合A中,则a≤2.因为a≥1,所以1≤a≤2.故a的取值范围为{a|1≤a≤2}. 本课结束