2023届高三数学一轮复习大题专练13导数任意存在性问题1

一轮大题专练13—导数（任意、存在性问题1）1．已知是自然对数的底数，，．（1）当时，求证：在上单调递增；（2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：，分，，，当时，在上单调递增；（2）解：由（1）知，当时，在上单调递增，此时，，由于，，，与题意不符；分当时，设，则在上单调递增，根据函数与的性质得与的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为，则，即，，即，，当时，，故，所以在上是减函数；当时，，，所以在，上是增函数，当时，取得最小值，且的最小值为，-8-,对，都有，分设（a），则（a），当时，（a），所以（a）在上是增函数；当时，（a），所以（a）在上是减函数；当时，（a）取得最大值，且（a）的最大值为（1）；当时，（a），即，且“”成立，由得，，综上所述，存在唯一的实数，且，，都有．分2．设函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立．解：（1），，①当时，恒成立，所以在上为减函数；②当时，由，得，由，得；由，得，所以在上为减函数，在上为增函数；（2）由得，，即不等式，恒成立，记，则，由得，；由得，；由得，．所以在为增函数，在上为减函数，所以，所以；-8-,（3）证明：由（1）知，当时，在上为减函数，在上为增函数．①当，即时，因为在上为增函数，又（1），所以，当时，，此时取；②当，即时，因为，所以，，令，，则上式，记，，则，所以在上为增函数，所以（1），即，因为在上为增函数，且，所以当时，，此时取．综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值．解：（1），的定义域是，，当时，，在上单调递增，当时，令，解得：，当时，，当，时，，-8-,在上单调递增，在，上单调递减；综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减；（2）恒成立，即恒成立，令，则，①当时，，单调递增，要使在上恒成立，只需，，此时不唯一，不合题意；②当时，令，解得：，在上单调递增，要使在上恒成立，只需，，此时不唯一，不合题意；③当时，令，解得：，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，要使在上恒成立，且的值唯一，只需，整理得，令，则，令，解得：，当时，，单调递增，-8-,当，时，，单调递减，，要使的值唯一，只需，解得：，，．4．已知函数．（1）设，求函数的最小值；（2）设，对任意，，恒成立，求的最大值．解：（1），令，则，，则，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，故的最小值是，即的最小值是；（2），则，-8-,由（1）知，故，故，故的最大值是．5．已知函数，．（1）若对任意给定的，，总存在唯一一个，，使得成立，求实数的取值范围；（2）若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意知，，因为，所以由，解得或，由，解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为，和，，，，（1），，所以的值域为，，又因为在，上单调递增，所以的值域为，，问题转化为直线，，和曲线，的图象只有一个交点，结合图象，有，解得的取值范围是，．（2）由（1）可知，问题转化为，，和曲线，二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有，解得的取值范围是．-8-,6．已知函数，，．（1）若在，上单调递减，求实数的取值范围；（2）若对于，总存在，，且满，，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围．解：（1），，令，因为对，恒成立，，即在，上为增函数，，在，上单调递减，对，恒成立，即，即实数的取值范围是，．（2）当时，，在区间上为增函数，时，，-8-,的对称轴为，由题意可得，此时，的值恒小于和（4）中最大的一个对于，总存在，，且满足，，，，，（4），，，即实数的取值范围是．-8-