河北省石家庄市2022-2023学年高一数学上学期期末模拟试卷（Word版带解析）

河北省石家庄市2022-2023学年高一年级期末数学模拟试卷一、单选题1.已知集合，，若，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【详解】对于A，当集合时，不是的子集，故A错误；对于B，当集合时，不是的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：D.2.已知幂函数图象过点，则等于（　　）A.10B.16C.25D.32【答案】C【解析】【分析】设幂函数，把已知点代入求出的值，进而即可计算出的值.【详解】设幂函数，又幂函数图象过点，∴，解得，∴，∴.故选：C.3.祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 【分析】根据与的推出关系判断【详解】已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则是的必要不充分条件故选：C4.当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据与的正负判断函数的单调性，从而得出正确结论．.【详解】，，是减函数，排除CD，，，是增函数，又排除B，故选：A．5.设，，则（）A.且B.且C.且D.且【答案】B【解析】【分析】容易得出，，即得出，，从而得出，．【详解】，.又，即，，，． 故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．6.已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间满足函数关系．若该食品在4℃时的保鲜时间为192h，在12℃时保鲜时间为48h，则该食品在28℃时的保鲜时间为（）A.2hB.3hC.4hD.6h【答案】B【解析】【分析】由题可得，代入再结合条件即得.【详解】由题意有：①，②，②式除以①式得，则故选：B.7.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】依题意可知，所以.故选：C8.已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；的图象如下： 所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，由图及函数性质知：，易知：，，所以.故选：C二、多选题9.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数解析式，逐项计算，即可得出结果.【详解】因为，所以，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.故选：ABD.10.若，则下列关系式中一定成立的是（） A.B.（）C.（是第一象限角）D.【答案】BC【解析】【分析】由已知得，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可.【详解】由知：，∴，，即A错误，B正确；且，即，则有，故C正确；的大小不确定，故D错误.故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.1、如：单调增函数；2、对于，根据所在象限确定其范围即可应用的单调性判断大小；3、由于无法确定的大小，的大小也无法确定.11.已知函数，，下列说法正确的是（）A.只有一个零点B.若有两个零点，则C.若有两个零点，，则D.若有四个零点，则【答案】CD【解析】【分析】由函数解析式分析的性质并画出函数图象判断A，数形结合法判断B、C，结合二次函数性质讨论零点，且的位置情况求m的范围判断 D.【详解】由题设，时且递增，时，在上递减，上递增且值域均为，又，所以只有一个零点，A错误，其函数图象如下：由图，若有两个零点，则或，B错误；若两个零点，均在上，则，即，C正确；要使有4个零点，即对应两个不同的值，若零点分别为，且，所以，当，即时，由，故排除；若，有四个零点，此时，无解；若，有四个零点，此时，无解；若，，有四个零点，，可得.综上，有四个零点时，D正确.12.定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（） A.函数是函数的一个承托函数B.函数是函数的一个承托函数C.若函数是函数一个承托函数，则a的取值范围是D.值域是R的函数不存在承托函数【答案】BC【解析】【分析】由承托函数的定义依次判断即可.【详解】解：对A，∵当时，，∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；对B，令，则恒成立，∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；对C，令，则，若，由题意知，结论成立，若，令，得，∴函数在上为减函数，在上为增函数，∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，∵是函数的一个承托函数，∴，即，∴，若，当时，，故不成立，综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；对D，不妨令，则恒成立，故是的一个承托函数，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．三、填空题 13.___________.【答案】4【解析】【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】故答案为：4.14.扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.【答案】4【解析】【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．故答案为：415.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，求出，再由角的变换及两角差的正切公式求出，即可得解.【详解】，，，，，， .故答案为：.16.已知，则函数_______．【答案】【解析】分析】采用换元法，令，即可得，即可求得函数解析式.【详解】令，则，故，即，故答案为：.四、解答题17.已知，，.（1）求及；（2）若，求．【答案】（1），或；（2）或.【解析】【分析】先求出集合A，，C，再根据集合的交并补的运算即可求得结果.【详解】由已知或，，，（1），或；（2），或，所以或. 18.（1）求值：；（2）设为正实数，已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将拆分成，结合完全平方式和指数对数运算性质化简即可；（2），再结合立方差公式和平方和公式化简即可求解.【详解】（1）（2），，，所以.19.已知关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）正实数满足，求的最小值；【答案】（1）.（2）9.【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解集可知和是方程的两个根，由此 利用根与系数的关系，即可求得答案；（2）由已知结合（1）可得，将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由题意可得和是方程的两个根，由根与系数的关系可得，解得.【小问2详解】正实数满足，由（1）可得，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.20.已知函数，且函数的最小正周期为π．（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并指出此时的值．【答案】（1）（2）时，最小值为；时，最大值为2．【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得，再利用整体法可得解.【小问1详解】 ∵函数的最小正周期为π，∴，解得，.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，由，可得，故当，即当时，函数取得最小值为；当，即当时，函数取得最大值为2．21.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.【答案】（1）；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差 ，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.【小问2详解】证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.【小问3详解】解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得. 因此，不等式的解集为.22.如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．（1）设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；（2）当多少时，S最大，并求最大值．【答案】（1），．（2）时，面积最大为【解析】【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；（2）令换元，然后由二次函数性质可解.【小问1详解】延长交于，设，则，，，．，．【小问2详解】 设，，知，，，．当，即时，有最大值．答：长方形停车场面积的最大值为平方米．