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北京市清华附中高一期末数学试卷(理科)
北京市清华附中高一期末数学试卷(理科)
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2022-2022学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科) 一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4},集合A={1,3,4},B={2,4},则集合(∁UA)∪B=( )A.{2}B.{4}C.{1,3}D.{2,4}2.x2>0是x>0的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件3.在等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18,则a1+a2+a3+a4=( )A.26B.40C.54D.804.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.若a1=d=1,则的最小值为( )A.10B.C.D.+25.为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,可以将函数y=sin2x的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度6.已知平面向量,满足||==2,(+2)•(﹣)=﹣6,则与的夹角为( )A.B.C.D.7.己知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1对,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )A.0B.0或C.0或D.或8.设△ABC,P0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( )A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC 二、填空题9.已知两点A(1,1),B(﹣1,2),若=,则C点坐标是______.10.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于______.11.设函数,则实数a的取值范围是______.14/1512.若正数a,b满足a+b=10,则+的最大值为______.13.在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),函数y=ex的图象与y轴的交点为B,P为函数y=ex图象上的任意一点,则的最小值______.14.已知点A(,),B(,1),C(,0),若这三个点都在函数f(x)=sinωx的图象上,则正数ω的所有取值的集合为______. 三、解答题.15.已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.16.已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x﹣.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间;(3)若函数f(x)在区间[0,m]上恰好有10个零点,求正数m的最小值.17.如图,A、B是单位圆O上的点,C、D分别是圆O与x轴的两个交点,△ABO为正三角形.(1)若点A的坐标为,求cos∠BOC的值;(2)若∠AOC=x(0<x<),四边形CABD的周长为y,试将y表示成x的函数,并求出y的最大值.18.已知函数f(x)=(x2+ax+a)e﹣x,其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在m,n∈(2,3),且m≠n,使得f(m)=f(n),求实数a的取值范围.19.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R.(1)当a=0时,求证:f(x)<x,对任意的x∈(0,+∞)成立;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(3)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.20.设集合S={x|x=,k∈N*}.(1)请写出S的一个4元素,使得子集中的4个元素恰好构成等差数列;(2)若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中,且公比为q,求证:q∈(0,);14/15(3)设正整数n>1,若S的n元子集A满足:对任意的x,y∈A,且x≠y,有|x﹣y|≥,求证:n≤15. 14/152022-2022学年北京市清华附中高一(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4},集合A={1,3,4},B={2,4},则集合(∁UA)∪B=( )A.{2}B.{4}C.{1,3}D.{2,4}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据补集与并集的定义,进行计算即可.【解答】解:集合U={1,2,3,4},A={1,3,4},B={2,4},∴∁UA={2},∴(∁UA)∪B={2,4}.故选:D. 2.x2>0是x>0的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据x2>0,得到x的范围和x>0比较即可.【解答】解:由x2>0得到:x≠0,而x≠0推不出x>0,不是充分条件,由x>0能推出x≠0,是必要条件,∴x2>0是x>0的必要不充分条件,故选:B. 3.在等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18,则a1+a2+a3+a4=( )A.26B.40C.54D.80【考点】等比数列的前n项和.【分析】根据等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18,求得数列的首项与公比,即可求和.【解答】解:∵等比数列{an}中,a2=6,a3=﹣18,∴=﹣3,=﹣2∴a1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40故选B. 4.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.若a1=d=1,则的最小值为( )14/15A.10B.C.D.+2【考点】等差数列的前n项和.【分析】由已知条件推导出==,由此利用均值定理取最小值.【解答】解:∵等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.a1=d=1,∴==1++=≥+=,当且仅当,即n=4时,取最小值.故选:B. 5.为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,可以将函数y=sin2x的图象( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.【分析】先将函数变形,再利用三角函数的图象的平移方法,即可得到结论.【解答】解:∵函数y=sin(2x﹣)=sin[2(x﹣)],∴为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A. 6.已知平面向量,满足||==2,(+2)•(﹣)=﹣6,则与的夹角为( )A.B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.14/15【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出,从而可求出的值,进而便可得出向量的夹角.【解答】解:;∴===﹣6;∴;∵;∴.故选:C. 7.己知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1对,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )A.0B.0或C.0或D.或【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.【分析】由题意可得函数的图象,属性结合可得当直线为图中的m,或n是满足题意,求出其对应的a值即可.【解答】解:由对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x)可知,函数的周期为T=2,结合函数为偶函数,且当0≤x≤1对,f(x)=x2可作出函数y=f(x)和直线y=x+a的图象,当直线为图中的直线m,n时,满足题意,易知当直线为m时,过原点,a=0,当直线为n时,直线与曲线相切,联立,消y可得x2﹣x﹣a=0,14/15由△=1+4a=0可得a=,故a的值为0,或,故选C 8.设△ABC,P0是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( )A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设||=4,则||=1,过点C作AB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0=a,则由数量积的几何意义可得||2﹣(a+1)||+a≥0恒成立,只需△=(a+1)2﹣4a=(a﹣1)2≤0即可,由此能求出△ABC是等腰三角形,AC=BC.【解答】解:设||=4,则||=1,过点C作AB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0=a,则由数量积的几何意义可得,=||•||=||2﹣(a+1)||,•=﹣a,于是•≥••恒成立,整理得||2﹣(a+1)||+a≥0恒成立,只需△=(a+1)2﹣4a=(a﹣1)2≤0即可,于是a=1,因此我们得到HB=2,即H是AB的中点,故△ABC是等腰三角形,所以AC=BC.故选:D. 二、填空题9.已知两点A(1,1),B(﹣1,2),若=,则C点坐标是 .【考点】平面向量的坐标运算.【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出.【解答】解:∵=,14/15∴===.故答案为:. 10.在等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前13项之和等于 26 .【考点】数列的函数特性.【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出.【解答】解:等差数列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,∴6a4+6a10=24,∴2a7=4,即a7=2.则此数列的前13项之和S13==13a7=26.故答案为:26. 11.设函数,则实数a的取值范围是 ﹣3<a<1 .【考点】其他不等式的解法;分段函数的解析式求法及其图象的作法;指数函数的单调性与特殊点.【分析】由于函数为分段函数,可分别讨论当a≥0和a<0两种情况,进而求出实数a的取值范围.【解答】解:函数f(x)为分段函数,当a≥0时,<1,得0≤a<1.当a<0时,<1,解得a>﹣3,即﹣3<a<0,故答案为:﹣3<a<1. 12.若正数a,b满足a+b=10,则+的最大值为 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】对无理数可以先求平方,再利用均值定理求出最值,最后得出原表达式的最大值.【解答】解:正数a,b满足a+b=10,令y=+,则y2=a+2+b+3+2,∵a+b=10,14/15∴15=a+2+b+3≥2(当a+2=b+3时等号成立),∴y2≤30,∴+的最大值为.故答案为:. 13.在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),函数y=ex的图象与y轴的交点为B,P为函数y=ex图象上的任意一点,则的最小值 1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意可得向量的坐标,进而可得=﹣x0+,构造函数g(x)=﹣x+ex,通过求导数可得其极值,进而可得函数的最小值,进而可得答案.【解答】解:由题意可知A(1,0),B(0,1),故=(0,1)﹣(1,0)=(﹣1,1),设P(x0,),所以=(x0,),故=﹣x0+,构造函数g(x)=﹣x+ex,则g′(x)=﹣1+ex,令其等于0可得x=0,且当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0,故函数g(x)在x=0处取到极小值,故gmin(x)=g(0)=1,故的最小值为:1故答案为:1 14.已知点A(,),B(,1),C(,0),若这三个点都在函数f(x)=sinωx的图象上,则正数ω的所有取值的集合为 {ω|ω=8k+2,k∈N}∩{ω|ω=12k+2,或12k+4,k∈N}∪{2,4}. .【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.【分析】由条件利用正弦函数的图象特征,分类讨论,求得每种情况下正数ω的值,从而得出结论.【解答】解:若三个点都在函数f(x)=sinωx的图象上,则有sin(ω•)=,sin(ω•)=1,sinω•=0,则,即,14/15求得正数ω的所有取值的集合为:{ω|ω=8k+2,k∈N}∩{ω|ω=12k+2,或12k+4,k∈N}∪{2,4}.故答案为:{ω|ω=8k+2,k∈N}∩{ω|ω=12k+2,或12k+4,k∈N}∪{2,4}. 三、解答题.15.已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;(2)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和.【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得d===3.∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,…).∴数列{an}的通项公式为:an=3n;设等比数列{bn﹣an}的公比为q,由题意得:q3===8,解得q=2.∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1.从而bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).∴数列{bn}的通项公式为:bn=3n+2n﹣1;(2)由(1)知bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1.∴数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n﹣1. 16.已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x﹣.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调递减区间;(3)若函数f(x)在区间[0,m]上恰好有10个零点,求正数m的最小值.【考点】正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法.【分析】(1)根据二倍角及辅助角公式求得f(x)的解析式,利用周期公式即可求得f(x)的最小正周期;(2)令2kπ+≤2x+≤2kπ+,函数f(x)单调递减,解得f(x)的单调递减区间;14/15(3)根据正弦函数图象,f(x)=0,sin(2x+)=0,解得2x+=kπ,(k∈Z),当k=10,为f(x)的第10个零点,求得m的最小值.【解答】解:(1)f(x)=sinxcosx+cos2x﹣.=sin2x+cos2x+﹣,=sin(2x+)最小正周期T===π,f(x)的最小正周期π;(2)令2kπ+≤2x+≤2kπ+,(k∈Z),解得:kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z),∴函数的单调递减区间为:[kπ+,kπ+](k∈Z);(3)函数f(x)在区间[0,m]上恰好有10个零点,由正弦函数周期性,可知:f(x)=0,sin(2x+)=0,解得:2x+=kπ,(k∈Z),∴x=﹣,∴当k=10,x=,正数m的最小值. 17.如图,A、B是单位圆O上的点,C、D分别是圆O与x轴的两个交点,△ABO为正三角形.(1)若点A的坐标为,求cos∠BOC的值;(2)若∠AOC=x(0<x<),四边形CABD的周长为y,试将y表示成x的函数,并求出y的最大值.14/15【考点】在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值;平面直角坐标系与曲线方程.【分析】(1)根据△ABO为正三角形求得∠BOA,利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC,进而利用两角和公式求得cos∠BOC.(2)利用余弦定理分别求得AC和BD,进而根据△ABO为正三角形求得AB,CD可知,四边相加得到y的函数解析式,利用两角和公式化简整理后,利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值.【解答】解:(1)∵△ABO为正三角形,∴∠BOA=60°,∵点A的坐标为,∴tan∠AOC=,∴sin∠AOC=,cos∠AOC=,∴cos∠BOC=cos(∠AOC+60°)=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=.(2)由余弦定理可知AC==2sin,BD==2sin(﹣),AB=OB=1,CD=2,∴===,0<x<∴当x=时,ymax=5. 18.已知函数f(x)=(x2+ax+a)e﹣x,其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在m,n∈(2,3),且m≠n,使得f(m)=f(n),求实数a的取值范围.14/15【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)结合(1)得到f(x)在(0,2﹣a)递增,在(2﹣a,+∞)递减,满足条件,从而得到关于a的不等式,解出即可.【解答】解:(1)∵f(x)=(x2+ax+a)e﹣x,∴f′(x)=﹣,①a﹣2>0即a>2时,2﹣a<0,令f′(x)>0,解得:2﹣a<x<0,令f′(x)<0,x>0或x<2﹣a,∴f(x)在(﹣∞,2﹣a)递减,在(2﹣a,0)递增,在(0,+∞)递减;②a﹣2=0即a=2时,f′(x)=﹣<0,f(x)在R递减;③a﹣2<0即a<2时,2﹣a>0,令f′(x)>0,解得:0<x<2﹣a,令f′(x)<0,x>2﹣a或x<0,∴f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,2﹣a,)递增,在(2﹣a,+∞)递减;(2)由(1)得:2<2﹣a<3,解得:﹣1<a<0. 19.设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R.(1)当a=0时,求证:f(x)<x,对任意的x∈(0,+∞)成立;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(3)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(1)求出f(x)的表达式,令g(x)=ln(x+1)﹣x,根据函数的单调性求出g(x)<g(0)=0,从而证出结论;(2)求出f(x)的导数,令g(x)=2ax2+ax﹣a+1,通过讨论a的范围,判断函数的单调性,从而求出函数的极值的个数;(3)通过讨论a的范围,结合函数的单调性求出满足题意的a的范围即可.【解答】解:(1)a=0时,f(x)=ln(x+1),定义域是(﹣1,+∞),令g(x)=ln(x+1)﹣x,g′(x)=﹣1=﹣<0,∴g(x)在(0,+∞)递减,∴g(x)<g(0)=0,故f(x)<x,对任意的x∈(0,+∞)成立;(2)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).f′(x)=,令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.(i)当a=0时,g(x)=1,此时f′(x)>0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.14/15(ii)当a>0时,△=a2﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8).①当0<a≤时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.②当a>时,△>0,设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1,x2,x1<x2.∵x1+x2=﹣,∴x1<﹣,x2>﹣.由g(﹣1)>0,可得﹣1<x1<﹣,∴当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.(iii)当a<0时,△>0.由g(﹣1)=1>0,可得x1<﹣1<x2.∴当x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.因此函数f(x)有一个极值点.综上所述:当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;当a>时,函数f(x)有两个极值点.(3)由(2)可知:①当0≤a≤时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.∵f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.②当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.③当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,∴x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.又f(0)=0,∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;④当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),h′(x)=>0.∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.因此x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)<x,可得:f(x)<x+a(x2﹣x)=ax2+(1﹣a)x,14/15当x>1﹣时,ax2+(1﹣a)x<0,此时f(x)<0,不合题意,舍去.综上所述,a的取值范围为[0,1]. 20.设集合S={x|x=,k∈N*}.(1)请写出S的一个4元素,使得子集中的4个元素恰好构成等差数列;(2)若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中,且公比为q,求证:q∈(0,);(3)设正整数n>1,若S的n元子集A满足:对任意的x,y∈A,且x≠y,有|x﹣y|≥,求证:n≤15.【考点】数列的应用.【分析】(1)由题设,一个4元素恰好构成等差数列;4个元素通分后具有分母相同,分子成等差关系的特点.(2)由题设,公比为q,q是有理数,设,(a,b互质),构造无穷递减等比数列证明.(3)在(0,)∪S中,对任意的x,y∈A,且x≠y,有|x﹣y|≥,满足条件有7个数.在(,1)∪S中,最多有1,,,…,满足条件有8个数,即可得到答案.【解答】解:(1)S的一个4元素恰好构成等差数列,S={}(2)由题意,数列{an}是无穷递减等比数列,q是有理数,设,(a,b互质),∴为S中的数(k∈N*),则b必为1;∴,(a∈N+),∴q∈(0,];(3)证明:在(0,)∪S中,对任意的x,y∈A,且x≠y,有|x﹣y|≥,∴在(0,)∪S中的元素个数不超过.最多有7个数.在(,1)∪S中,满足条件有1,,,…,最多8个数,∴7+8≤15,即n≤15.得证. 14/15
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所属:
高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:22:47
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文章作者:U-336598
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