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2012年北京市高考数学试卷(理科)

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2012年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.)1.已知集合ȁݔȁ,൅ݔͳ൅,则ݔݔA.ͳͳݔB.ͳݔͳC.﹙ͳ,﹚D.൅ݔ,2.设不等式组表示的平面区域为,在区域内随机取一个点,则此点൅ݔ,到坐标原点的距离大于ݔ的概率是ͳݔͳA.B.C.D.ݔ3.设,.“=൅”是“复数是纯虚数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为A.ݔ.D.C.Bݔ5.如图,ᦙ൅,ᦙ于点,以为直径的圆与ᦙ交于点.则()试卷第1页,总9页 A.ᦙᦙB.ᦙᦙC.ᦙݔᦙᦙ.Dݔ6.从൅、ݔ从.字数个一选中ݔ、、中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.ݔݔ.Cݔ.BݔD.7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是A.ݔݔ൅.Dݔݔ.C൅.Bݔ8.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,则的值为()A.B.C.D.ݔݔ二.填空题共6小题.每小题5分.共30分.)ݔcos9.直线(为参数)与曲线(为参数)的交点个数为________.ͳݔͳsinݔ10.已知﹛﹜是等差数列,为其前项和.若ݔ则,ݔ,ݔ________.ݔݔ11.在ᦙ中,若ݔ,,cosͳ,则________.12.在直角坐标系2中.直线过抛物线ݔ的焦点.且与该抛物线相交于、两点.其中点在轴上方.若直线的倾斜角为൅.则2的面积为________.13.已知正方形ᦙ的边长为ݔ,点是边上的动点.则ᦙ的值为________.14.已知ͳݔͳݔ,ݔ,若同时满足条件:①,൅或൅,②ͳͳ,൅,则的取值范围为________.试卷第2页,总9页 三、解答题公6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)sinͳcossinݔ15.已知函数.sinݔ求的定义域及最小正周期;ݔ求的单调递增区间.16.如图ݔ,在ᦙ中,ᦙ൅,ᦙ,ᦙ,,分别是ᦙ,上的点,且ᦙ,ݔ使,置位的ݔ到起折沿将,ݔᦙᦙ,如图ݔ.ݔ:证求ݔᦙ平面ᦙ;ݔ面平与ᦙ求,点中的ݔ是若ݔ所成角的大小;线段ᦙ上是否存在点,使平面ݔ面平与ݔ垂直?说明理由.17.近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计ݔ൅൅൅吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾൅൅ݔ൅൅ݔ൅൅可回收物൅ݔ൅൅其他垃圾ݔ൅ݔ൅൅ݔ试估计厨余垃圾投放正确的概率;ݔ试估计生活垃圾投放错误的概率;假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,,其中൅,൅൅.当数据,,的方差ݔ最大时,写出,,的值(结论不要求证明),并求此时ݔ的值.ݔݔݔݔݔ(注:ݔ,ݔ据数为中其,ͳͳݔͳݔ,,的平均数)18.已知函数ݔݔ൅,(1)若曲线与曲线在它们的交点ݔ处具有公共切线,求、的值;(2)当ݔͳͳ间区在其求并,间区调单的数函求,时ݔ上的最大值.19.已知曲线ᦙ:ͳݔݔͳݔ试卷第3页,总9页 (1)若曲线ᦙ是焦点在轴点上的椭圆,求的取值范围;(2)设,曲线与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点、,直线ݔ与直线交于点.求证:,,三点共线.20.设是由个实数组成的行列的数表,满足:每个数的绝对值不大于ݔ,且所有数的和为零,记为所有这样的数表构成的集合.对于,记为的第ⅰ行各数之和ݔ和之数各列第的为ᦙ,ⅰݔ;记为ȁݔᦙȁ,ȁݔᦙȁ,ȁȁ,…,ȁݔȁ,ȁݔȁ,…,ȁᦙȁ中的最小值.(1)如表,求的值;ݔݔͳ൅䁞൅䁞ݔͳ䁞൅ͳݔ(2)设数表ݔ形如ݔݔͳݔ求的最大值;(3)给定正整数,对于所有的ݔݔݔ,求的最大值.试卷第4页,总9页 参考答案与试题解析2012年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1.D2.D3.B4.C5.A6.B7.B8.C二.填空题共6小题.每小题5分.共30分.9.ݔ10.ݔ11.12.13.ݔ14.ͳͳݔ三、解答题公6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.sinͳcossinݔ15.解:ݔsinsinͳcosݔsincossinݔsinͳcoscossinݔͳͳݔnisݔݔsocͳݔͳݔ,∵sin൅,∴,即原函数的定义域为ȁ,ݔ∵,∴最小正周期为.ݔݔͳݔͳݔ由ݔ,,ݔݔ解得ͳ,,又ȁ,原函数的单调递增区间为ͳ,,.16.ݔᦙ,ݔ,ᦙ∵:明证ݔ,∴平面ݔᦙ,又∵ݔᦙ平面ݔᦙ,试卷第5页,总9页 ∴ݔᦙ,又ݔᦙᦙ,ᦙ,∴ݔᦙ平面ᦙ.ݔݔͳ,൅൅,ݔ൅൅ݔ,൅൅ݔͳ,൅൅൅ᦙ则,系建图如:解ݔ൅,∴ݔͳݔݔͳݔ,ݔͳ൅ݔ设平面ݔ法向量为,ݔ൅,ݔ൅,ͳݔ൅∴ͳݔͳݔݔ൅∴ݔͳݔ∴ͳݔݔ,又∵ͳݔ൅,∴ᦙͳݔ൅,ᦙ∴cosȁᦙȁȁȁݔݔݔݔ.ݔݔݔݔ∴ᦙ与平面ݔ所成角的大小.解:设线段ᦙ上存在点,设点坐标为൅൅,则൅,∴ݔ,ݔͳ൅ݔ൅,设平面ݔݔݔݔ为量向法ݔ,ݔݔͳݔ൅,则ݔݔݔ൅,试卷第6页,总9页 ݔݔ,∴ݔݔͳݔ,ݔ∴ݔͳ,假设平面ݔ则,直垂ݔ面平与ݔ൅,∴ݔͳ,ݔݔͳ,൅ݔݔ.∵൅,∴不存在线段ᦙ上存在点,使平面ݔ面平与ݔ垂直.17.解:ݔ൅൅ݔ൅൅为圾垃余厨:知可格表由ݔ൅൅൅൅(吨),投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾൅൅吨,൅൅ݔ故厨余垃圾投放正确的概率为.൅൅ݔ有共圾垃活生:知可格表由ݔ൅൅൅吨,生活垃圾投放错误有ݔ൅ݔ൅൅൅൅ݔ൅൅ݔ൅൅൅(吨),൅൅故生活垃圾投放错误的概率为൅䁞.ݔ൅൅൅ݔ൅∵൅൅,∴,,的平均数为ݔ൅൅,ݔݔݔݔݔ∴ͳݔ൅൅ͳݔ൅൅ͳݔ൅൅ݔݔݔ൅൅ͳݔݔݔ൅൅൅൅ݔݔݔ൅൅൅൅ͳݔݔݔ൅൅൅൅ݔݔݔݔͳݔݔ൅൅൅൅.∵ݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔ,ݔݔ故൅൅൅൅ͳݔݔ൅൅൅൅൅൅൅൅,因此有当൅൅,൅,൅时,方差ݔ最大为൅൅൅൅.18.解:(1)ݔݔ,ݔ则,൅ݔݔ,,则ݔ,ݔ,由ݔ:得可,点切共公为ݔ①又ݔݔ,ݔݔ,∴ݔݔ,即,代入①式可得:.ݔݔݔݔ(2)由题设,设ݔݔݔݔ则ݔ,ͳݔ:得解,൅令,ݔͳ;ݔ∵൅,∴ͳͳ,ݔ试卷第7页,总9页 ͳͳݔͳͳͳͳݔ,ݔ,ͳ+-+极极大小值值∴原函数在ͳͳ单调递增,在ͳ,ͳ单调递减,在ͳ,上单调ݔݔ递增①若ͳݔͳͳ在,时ݔ൅即,ͳݔ递增,无最大值;ݔ②若ͳͳݔͳ为值大最,时ݔ即,ͳݔ;ݔݔ③若ͳݔͳ为值大最,时即,时ͳݔ.ݔ综上所述:当൅ݔͳ为值大最,时ݔ当;值大最无,时ݔ.ݔݔݔ19.(1)解:原曲线方程可化简得:ݔͳͳݔͳͳݔ由题意,曲线ᦙ是焦点在轴点上的椭圆可得:൅,解得:ͳݔ൅ͳݔ(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得:ݔݔݔݔݔݔ൅,ݔݔݔݔͳ൅,解得:ݔݔݔ由韦达定理得:ͳݔ,①ݔݔݔ,②ݔݔ设,,ݔͳ:为程方,ݔ,则,ݔ,∴ͳݔ,ݔ,欲证,,三点共线,只需证,共线即ݔͳ成立,化简得:ͳ将①②代入可得等式成立,则,,三点共线得证.20.解:(1)由题意可知ݔ,ݔ䁞ݔݔ,ݔ䁞ݔͳݔ,ݔ䁞ݔݔ൅䁞,ͳݔ䁞∴൅䁞试卷第8页,总9页 (2)先用反证法证明ݔ:若ݔ则ȁݔݔȁݔȁȁݔ,∴൅同理可知൅,∴൅由题目所有数和为൅即ͳݔ∴ͳݔͳͳͳݔ与题目条件矛盾∴ݔ.易知当൅时,ݔ存在∴的最大值为ݔݔݔ(3)的最大值为.ݔݔݔ首先构造满足的ݔݔݔݔ:ݔݔ,…,ݔݔݔݔݔͳݔݔݔݔݔݔݔݔ,ͳݔݔݔݔݔݔݔ,ݔݔ,ݔݔݔͳݔݔݔݔݔݔݔ.经计算知,中每个元素的绝对值都小于ݔȁ且,൅为和之素元有所,ݔȁݔݔݔݔݔݔݔȁݔݔȁȁȁݔȁȁݔȁ,ȁݔ,ݔݔݔݔͳݔݔݔȁݔȁݔݔȁȁݔȁȁݔ.ݔݔݔݔ下面证明是最大值.若不然,则存在一个数表ݔݔݔ,使得ݔݔݔ.ݔ由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过ݔ的数的和,其绝对值不超过ݔ间区在都值对绝的和之数个两列一每的故,ݔ中.由于ݔ,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于ͳݔ.设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则,ݔ.另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于ݔ个负数,每个正数的绝对值不超过ݔ过超不均数正个每即(ݔ),每个负数的绝对值不小于ͳݔͳݔݔݔݔȁݔȁ此因.)ͳݔ过超不均数负个每即(ݔݔͳݔݔݔͳݔ,ݔݔ故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾.因此的最大值为.ݔ试卷第9页,总9页

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发布时间:2021-10-19 17:00:35 页数:9
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文章作者: 真水无香

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