2016年北京市高考数学试卷（理科）
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2016年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合A={x||x|<2}，集合B={-1, 0, 1, 2, 3}，则A∩B=( )A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{-1, 0, 1}D.{-1, 0, 1, 2}2.若x，y满足2x-y≤0x+y≤3x≥0 ，则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.53.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A.1B.2C.3D.44.设a→，b→是向量，则“|a→|=|b→|”是“|a→+b→|=|a→-b→|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知x，y∈R，且x>y>0，则( )A.1x-1y>0B.sinx-siny>0C.(12)x-(12)y<0D.lnx+lny>0试卷第9页，总9页, 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.17.将函数y=sin2x-π3图象上的点Pπ4,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'．若P'位于函数y=sin 2x的图象上，则( )A.t=12，s的最小值为π6B.t=32，s的最小值为π6C.t=12，s的最小值为π3D.t=32，s的最小值为π38.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=________．10.在(1-2x)6的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答）11.在极坐标系中，直线ρcosθ-3ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=________．12.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=________．13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=________．14.设函数f(x)=x3-3x，x≤a-2x,x>a．①若a=0，则f(x)的最大值为________；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)15.在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．试卷第9页，总9页, (1)求∠B的大小；(2)求2cosA+cosC的最大值．16.A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM // 平面PCD？若存在，求AMAP的值，若不存在，说明理由．18.设函数f(x)=xea-x+bx，曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，A(a, 0)，B(0, b)，O(0, 0)，△OAB的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|⋅|BM|为定值．20.设数列A:a1，a2，…，aN (N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an，则称n是数列a的一个“g时刻”，记g(a)是数列a的所有“g时刻”组成的集合．试卷第9页，总9页,>a1，则G(A)≠⌀；(3)证明：若数列A满足an-an-1≤1(n=2, 3,⋯,N)，则G(A)的元素个数不小于aN-a1．试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2016年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.C2.C3.B4.D5.C6.A7.A8.B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.-110.6011.212.613.214.2,(-∞, -1)三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：(1)∵在△ABC中，a2+c2＝b2+2ac，∴a2+c2-b2=2ac，∴cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22，∴B=π4.(2)由(1)得：C=3π4-A，∴2cosA+cosC=2cosA+cos(3π4-A)=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA＝sin(A+π4)．∵A∈(0, 3π4)，∴A+π4∈(π4, π)，故当A+π4=π2时，sin(A+π4)取最大值1，即2cosA+cosC的最大值为1．试卷第9页，总9页, 16.解：(1)由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K=20100=15，故C班有学生8÷15=40人.(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=2+3+3+3+440=38.(3)根据表中数据易知μ0=7×5+9×7+8.25×820=8.2，μ1=164+7+9+8.2523≈8.18，所以μ0>μ1．17.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；(2)解：取AD中点为O，连结CO，PO，∵CD=AC=5，∴CO⊥AD.∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P(0, 0, 1)，B(1, 1, 0)，D(0, -1, 0)，C(2, 0, 0)，则PB→=(1,1,-1)，PD→=(0,-1,-1)，PC→=(2,0,-1)，CD→=(-2,-1,0).设n→=(x0,y0,1)为平面PCD的法向量，则由n→⋅PD→=0，n→⋅PC→=0，得-y0-1=0，2x0-1=0，∴n→=(12,-1,1)．设PB与平面PCD的夹角为θ，试卷第9页，总9页, 则sinθ=|cos<n→，pb→>|=|n→⋅PB→|n→||PB→||=|12-1-114+1+1×3|=33；(3)解：假设存在M点使得BM // 平面PCD，设AMAP=λ，M(0, y1, z1)，由(2)知，A(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，AP→=(0,-1,1)，B(1, 1, 0)，AM→=(0,y1-1,z1)，则有AM→=λAP→，可得M(0, 1-λ, λ)，∴BM→=(-1,-λ,λ).∵BM // 平面PCD，n→=(12,-1,1)为平面PCD的法向量，∴BM→⋅n→=0，即-12+λ+λ=0，解得λ=14．综上，存在点M，即当AMAP=14时，M点即为所求．18.解：(1)∵y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，∴当x=2时，y=2(e-1)+4=2e+2，即f(2)=2e+2，同时f'(2)=e-1，∵f(x)=xea-x+bx，∴f'(x)=ea-x-xea-x+b，则f(2)=2ea-2+2b=2e+2f'(2)=ea-2-2ea-2+b=e-1，即a=2，b=e.试卷第9页，总9页, (2)∵a=2，b=e，∴f(x)=xe2-x+ex，∴f'(x)=e2-x-xe2-x+e=(1-x)e2-x+e，f″(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=(x-2)e2-x，由f″(x)>0得x>2，由f″(x)<0得x<2，即当x=2时，f'(x)取得极小值f'(2)=(1-2)e2-2+e=e-1>0，∴f'(x)>0恒成立，即函数f(x)是增函数，即f(x)的单调增区间是(-∞, +∞)．19.(1)解：由题意可得e=ca=32，又△OAB的面积为1，可得12ab=1，且a2-b2=c2，解得a=2，b=1，c=3，可得椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明：设P(2cosθ, sinθ)，(0≤θ<2π)，直线PA:y=sinθ2cosθ-2(x-2)，令x=0，可得y=-sinθcosθ-1，则|BM|=|sinθ+cosθ-11-cosθ|，直线PB:y=sinθ-12cosθx+1，令y=0，可得x=-2cosθsinθ-1，则|AN|=|2sinθ+2cosθ-21-sinθ|．即有|AN|⋅|BM|=|2sinθ+2cosθ-21-sinθ|⋅|sinθ+cosθ-11-cosθ|=2|2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ1+sinθcosθ-sinθ-cosθ|=4．则|AN|⋅|BM|为定值4．20.(1)解：根据题干可得，a1=-2，a2=2，a3=-1，a4=1，a5=3，a1<a2满足条件，2满足条件，a2>a3不满足条件，3不满足条件，a2>a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G(A)={2, 5}．(2)证明：因为存在an>a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak>a1≥ai，其中2≤i≤k-1，所以k∈G(A)，G(A)≠⌀.(3)证明：设A数列的所有“G时刻”为i1<i2<...<ik，对于第一个“g时刻”i1，有ai1>a1≥ai(i=2, 3, ..., i1-1)，则ai1-ai≤ai1-ai1-1≤1．对于第二个“G时刻”试卷第9页，总9页, i1，有ai2>ai1≥ai(i=2, 3, ..., i1-1)，则ai2-ai1≤ai2-ai2-1≤1．类似的ai3-ai2≤1，…，aik-aik-1≤1．于是，k≥(aik-aik-1)+(aik-1-aik-2)+...+(ai2-ai1)+(ai1-a1)=aik-a1．对于aN，若N∈G(A)，则aik=aN．若N∉G(A)，则aN≤aik，否则由(2)知aik，aik+1，...，aN，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾．从而k≥aik-a1≥aN-a1．试卷第9页，总9页</i2<...<ik，对于第一个“g时刻”i1，有ai1></a2满足条件，2满足条件，a2></n→，pb→></an，则称n是数列a的一个“g时刻”，记g(a)是数列a的所有“g时刻”组成的集合．试卷第9页，总9页,>
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