2008年北京市高考数学试卷（理科）

2008年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知全集U=R，集合A={x|-2&le;x&lt;3}，B={x|x&lt;-1或x&ge;4}，那么集合A&cap;B等于（）A.{x|-1<x<3}b.{x|x≤-1或x>3}C.{x|-2&le;x&lt;-1}D.{x|-1&le;x&lt;3}2.若a=20.5，b=log&pi;3，c=log2sin2&pi;5，则（）A.a&gt;b&gt;cB.b&gt;a&gt;cC.c&gt;a&gt;bD.b&gt;c&gt;a3.&ldquo;函数f(x)(x&isin;R)存在反函数&rdquo;是&ldquo;函数f(x)在R上为增函数&rdquo;的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,&thinsp;0)的距离小1，则点P的轨迹为（&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.若实数x，y满足x-y+1&ge;0x+y&ge;0x&le;0 则z＝3x+2y的最小值是（）A.0B.1C.3D.96.已知数列{an}对任意的p，q&isin;N*满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）A.-165B.-33C.-30D.-217.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘8.如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)A.B.C.D.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.已知(a-i)2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=________．10.已知向量a&rarr;与b&rarr;的夹角为120∘，且|a&rarr;|=|b&rarr;|=4，那么b&rarr;&sdot;(2a&rarr;+b&rarr;)的值为________．试卷第7页，总7页, 11.若(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，则n=________，其展开式中的常数项为________（用数字作答）．12.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,&thinsp;4)，(2,&thinsp;0)，(6,&thinsp;4)，则f（f(0)）=________；lim△x&rarr;0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用数字作答）13.已知函数f(x)=x2-cosx，对于[-&pi;2,&thinsp;&pi;2]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1&gt;x2；②x12&gt;x22；③|x1|&gt;x2．其中能使f(x1)&gt;f(x2)恒成立的条件序号是________．14.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk,&thinsp;yk)处，其中x1=1，y1=1，当k&ge;2时，xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)]yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25)T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________；第2009棵树种植点的坐标应为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=sin2&omega;x+3sin&omega;xsin(&omega;x+&pi;2)(&omega;&gt;0)的最小正周期为&pi;．(1)求&omega;的值；(2)求函数f(x)在区间[0,&thinsp;2&pi;3]上的取值范围．16.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，&ang;ACB=90∘，AP=BP=AB，PC&perp;AC．（1）求证：PC&perp;AB；（2）求二面角B-AP-C的大小；（3）求点C到平面APB的距离．17.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（3）设随机变量&xi;为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求&xi;的分布列．18.已知函数f(x)=2x-b(x-1)2，求导函数f&#39;(x)，并确定f(x)的单调区间．试卷第7页，总7页, 19.已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（1）当直线BD过点(0,&thinsp;1)时，求直线AC的方程；（2）当&ang;ABC=60∘时，求菱形ABCD面积的最大值．20.对于每项均是正整数的数列A:a1，a2，&hellip;，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1(A)：n，a1-1，a2-1，&hellip;，an-1；对于每项均是非负整数的数列B:b1，b2，&hellip;，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)；又定义S(B)=2(b1+2b2+...+mbm)+b12+b22+...+bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1(Ak)）(k=0,&thinsp;1,&thinsp;2,&hellip;)．（1）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（2）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1(A)）=S(A)；（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k&ge;K时，S(Ak+1)=S(Ak)．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2008年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.-110.011.5,1012.2,-213.②14.(1,&thinsp;2),(4,&thinsp;402)三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：(1)f(x)=1-cos2&omega;x2+32sin2&omega;x=32sin2&omega;x-12cos2&omega;x+12=sin(2&omega;x-&pi;6)+12．∵函数f(x)的最小正周期为&pi;，且&omega;&gt;0，&there4;2&pi;2&omega;=&pi;，解得&omega;=1．(2)由(2)得f(x)=sin(2x-&pi;6)+12．∵0&le;x&le;2&pi;3，&there4;-&pi;6&le;2x-&pi;6&le;7&pi;6，&there4;-12&le;sin(2x-&pi;6)&le;1．&there4;0&le;sin(2x-&pi;6)+12&le;32，即f(x)的取值范围为[0,32]．16.解：（1）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，&there4;PD&perp;AB．∵AC=BC，&there4;CD&perp;AB．∵PD&cap;CD=D，&there4;试卷第7页，总7页, AB&perp;平面PCD．∵PC&sub;平面PCD，&there4;PC&perp;AB．（2）∵AC=BC，AP=BP，&there4;△APC&cong;△BPC．又PC&perp;AC，&there4;PC&perp;BC．又&ang;ACB=90∘，即AC&perp;BC，且AC&cap;PC=C，&there4;BC&perp;平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，&there4;BE&perp;AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，&there4;CE&perp;AP．&there4;&ang;BEC是二面角B-AP-C的平面角．在△BCE中，BC=2，BE=32AB=6，CE=2cos&ang;BEC=33．&there4;二面角B-AP-C的大小arccos33．（3）由（1）知AB&perp;平面PCD，&there4;平面APB&perp;平面PCD．过C作CH&perp;PD，垂足为H．∵平面APB&cap;平面PCD=PD，&there4;CH&perp;平面APB．&there4;CH的长即为点C到平面APB的距离．由（1）知PC&perp;AB，又PC&perp;AC，且AB&cap;AC=A，&there4;PC&perp;平面ABC．∵CD&sub;平面ABC，&there4;PC&perp;CD．在Rt△PCD中，CD=12AB=2，PD=32PB=6，&there4;PC=PD2-CD2=2．&there4;CH=PC&sdot;CDPD=233．&there4;点C到平面APB的距离为233．17.解：（1）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，试卷第7页，总7页, 那么P(EA)=A33C52A44=140，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140．（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么P(E)=A44C52A44=110，&there4;甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=910．（3）随机变量&xi;可能取的值为1，2．事件&ldquo;&xi;=2&rdquo;是指有两人同时参加A岗位服务，则P(&xi;=2)=C52A33C53A44=14．&there4;P(&xi;=1)=1-P(&xi;=2)=34，&xi;的分布列是&nbsp;&xi;&nbsp;1&nbsp;2&nbsp;P&nbsp;34&nbsp;1418.解：f&#39;(x)=2(x-1)2-(2x-b)&sdot;2(x-1)(x-1)4=-2x+2b-2(x-1)3=-2[x-(b-1)](x-1)3．令f&#39;(x)=0，得x=b-1．当b-1&lt;1，即b&lt;2时，f&#39;(x)的变化情况如下表：x(-&infin;,&thinsp;b-1)b-1(b-1,&thinsp;1)(1,&thinsp;+&infin;)f&#39;(x)-0+-当b-1&gt;1，即b&gt;2时，f&#39;(x)的变化情况如下表：x(-&infin;,&thinsp;1)(1,&thinsp;b-1)b-1(b-1,&thinsp;+&infin;)f&#39;(x)-+0-所以，当b&lt;2时，函数f(x)在(-&infin;,&thinsp;b-1)上单调递减，在(b-1,&thinsp;1)上单调递增，在(1,&thinsp;+&infin;)上单调递减．当b&gt;2时，函数f(x)在(-&infin;,&thinsp;1)上单调递减，在(1,&thinsp;b-1)上单调递增，在(b-1,&thinsp;+&infin;)上单调递减．当b-1=1，即b=2时，f&#39;(x)=-2(x-1)2，所以函数f(x)在(-&infin;,&thinsp;1)上单调递减，在(1,&thinsp;+&infin;)上单调递减．19.解：（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC&perp;BD．于是可设直线AC的方程为y=-x+n．由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=-12n2+64&gt;0，解得-433</x<3}b.{x|x≤-1或x>